4札幌医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) $y=\sqrt{x+2}$ の値域は $y\geqq0$。x,yを交換すると $x=\sqrt{y+2}$ だから
$$\boxed{f^{-1}(x)=x^2-2\quad(x\geqq0)}.$$
(2) 共有点では $y=f(x),x=f(y)$。fは変数の値が大きくなると関数の値も必ず大きくなるので、$x<y$ なら $y=f(x)<f(y)=x$ となり矛盾する。$x>y$ も同様。従って $x=y$ であり、$\sqrt{x+2}=x$ を $x\geqq0$ のもとで解いて共有点は $\boxed{(2,2)}$。
(3) x軸との交点はC1が $(-2,0)$、C2が $(\sqrt2,0)$。従って面積は
$$\begin{aligned} S&=\int_{-2}^{2}\sqrt{x+2}\,dx-\int_{\sqrt2}^{2}(x^2-2)\,dx\\ &=\frac{16}{3}-\frac{4\sqrt2-4}{3}=\boxed{\frac{20-4\sqrt2}{3}}. \end{aligned}$$$$S={\int }_{-2}^2\sqrt{x+2}dx-{\int }_{\sqrt{2}}^2(x^2-2)dx$$$$=\frac{16}{3}-\frac{4\sqrt{2}-4}{3}=\boxed{\frac{20-4\sqrt{2}}{3}}.$$
(4) 回転前の領域は $0\leqq x\leqq2,x^2-2\leqq y\leqq x$。x軸をまたぐ $0\leqq x\leqq\sqrt2$ では回転断面は円板となる。上下端の絶対値が等しくなるのは $x=2-x^2$、すなわち $x=1$。従って断面積は
$$A(x)=\begin{cases}\pi(2-x^2)^2,&0\leqq x\leqq1,\\\pi x^2,&1\leqq x\leqq\sqrt2,\\\pi\{x^2-(x^2-2)^2\},&\sqrt2\leqq x\leqq2.\end{cases}$$
よって
$$\begin{aligned} V&=\pi\left\{\frac{43}{15}+\frac{2\sqrt2-1}{3}+\frac{22\sqrt2-16}{15}\right\}\\ &=\boxed{\frac{22+32\sqrt2}{15}\pi}. \end{aligned}$$$$V=\pi \left\{\frac{43}{15}+\frac{2\sqrt{2}-1}{3}+\frac{22\sqrt{2}-16}{15}\right\}$$$$=\boxed{\frac{22+32\sqrt{2}}{15}\pi }.$$