2札幌医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1)

$u=(\cos\theta,\,\sin\theta)$、$v=(-\sin\theta,\,\cos\theta)$ とおくと、これらは互いに垂直な単位ベクトルである。$A$ は $\ell$ 上で $x$ 座標が正だから $A=\lambda u$（$\lambda>0$）。楕円に代入すると
$$\lambda^{2}\left(\dfrac{\cos^{2}\theta}{2}+\dfrac{\sin^{2}\theta}{3}\right)=1$$
よって $\lambda=\sqrt{\dfrac{6}{2+\cos^{2}\theta}}$。同様に $B$ は $m$ 上で $y$ 座標が正なので $B=\mu v$（$\mu>0$）。楕円に代入して $\mu=\sqrt{\dfrac{6}{3-\cos^{2}\theta}}$。したがって (1) の座標を得る。

(2)

楕円は原点対称なので $C=-A$、$D=-B$。四角形 $ABCD$ の対角線 $AC$ と $BD$ は直交し、長さはそれぞれ $2\lambda$、$2\mu$ である。従って
$$S=\dfrac{(2\lambda)(2\mu)}{2}=2\lambda\mu=\dfrac{12}{\sqrt{(2+\cos^{2}\theta)(3-\cos^{2}\theta)}}.$$
$z=\cos2\theta$ とおくと、$(2+\cos^{2}\theta)(3-\cos^{2}\theta)=6+\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta=\dfrac{25-z^{2}}{4}$。よって
$$S=\dfrac{24}{\sqrt{25-\cos^{2}2\theta}}.$$

(3)

区間 $0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で $0\leqq\cos^{2}2\theta\leqq1$ である。面積の式はこの値が大きいほど大きいので、最大は $\cos^{2}2\theta=1$ となる $\theta=0$ で $2\sqrt{6}$、最小は $\cos2\theta=0$ となる $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で $\dfrac{24}{5}$ である。