1札幌医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

複素数の絶対値と共役を用いた代数変形、空間の直線の媒介変数表示、最小公倍数と包除による倍数の計数。

(1) |z|=r とおく。$x>0$ より $z\ne0$ であり、与式の両辺の絶対値を比べると $r^3=r^2$ だから $r=1$ である。したがって $\bar z=z^{-1}$ であり、$z^3=\bar z^2$ は $z^5=1$ と同値である。$y\ne0$ より $z\ne1$ なので、$z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0$ から $z^4+z^3+z^2+z+1=0$。これを $z^2$ で割り、$u=z+z^{-1}=z+\bar z=2x$ とおくと、$z^2+z^{-2}=u^2-2$ より $u^2+u-1=0$。よって $u=(-1\pm\sqrt5)/2$ だが、$u=2x>0$ なので $u=(-1+\sqrt5)/2$。したがって $x=(\sqrt5-1)/4$。この値では $0<x<1$ なので $y=\sqrt{1-x^2}\ne0$ とでき、$|z|=1$ かつ $u^2+u-1=0$ から上の因数が0となるため、実際に条件を満たす複素数が存在する。
(2) 方向ベクトルは $\overrightarrow{AB}=(2/3,-3,5)$、$\overrightarrow{CD}=(4,3,-5/3)$ だから、$\ell$ と $m$ はそれぞれ $(-7/3,2,-1)+s(2/3,-3,5)$、$(0,2,2/3)+t(4,3,-5/3)$ と表せる。交点では第2座標から $2-3s=2+3t$、すなわち $t=-s$。第1座標から $-7/3+2s/3=4t=-4s$ なので $s=1/2$、$t=-1/2$。このとき第3座標は両直線で $3/2$ となり、交点は $(-2,1/2,3/2)$ である。
(3) 1から1000までで4、6、10の倍数となる数の集合をそれぞれ $A,B,C$ とする。各集合の要素数は $|A|=250, |B|=166, |C|=100$。共通部分は最小公倍数の倍数だから、$|A\cap B|=[1000/12]=83$、$|A\cap C|=[1000/20]=50$、$|B\cap C|=[1000/30]=33$、$|A\cap B\cap C|=[1000/60]=16$。重複を包除して、求める個数は $250+166+100-83-50-33+16=366$ 個である。