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札幌医科大学／2024年度／前期

3札幌医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

1問題

札幌医科大学2024年度第3問
1から6までの数字が一つずつ各面に書かれているが、面に書かれている数字を消して元の数字とは別の数字（ただし1から6までの数字）に書き換えることができる六面体のサイコロがある。書き換える際に、どの数字に書き換えられるかは同様に確からしいものとする。数字を書き換える前（1から6が一つずつ書かれている状態）のサイコロを「前サイコロ」と呼ぶ。一方、一つの面の数字を消して別の数字に書き換えたサイコロを「後サイコロ」と呼ぶ。

(1) 「後サイコロ」の面に書かれている数字の合計をS1S_{1}とする（例えば、「前サイコロ」の「4」の面の数字が「1」に書き換えられた場合、S1=1+2+3+1+5+6=18S_{1}=1+2+3+1+5+6=18となる）。このときS1>18S_{1}>18となる確率を求めよ。

(2) 「前サイコロ」を二つ用意し、それぞれの「後サイコロ」を作成する。二つの後サイコロの面に書かれている数字の合計をS2S_{2}とする（例えば、一つ目の「前サイコロ」の「4」の面の数字が「1」に書き換えられ、二つ目の「前サイコロ」の「3」の面の数字が「2」に書き換えられた場合、S2=(1+2+3+1+5+6)+(1+2+2+4+5+6)=38S_{2}=(1+2+3+1+5+6)+(1+2+2+4+5+6)=38となる）。このときS2=36S_{2}=36となる確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    45\frac45。
  • (2)
    7180\frac7{180}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

元の 66 面を各 16\frac16 で選び、選んだ面の元の数字以外の 55 数字に各 15\frac15 で書き換える。
元の数字 ii と新しい数字 jj（j≠ij\ne i）の 3030 通りは等確率である。
合計は S1=21−i+jS_1=21-i+j。
S1≦18S_1\leqq18 となる変更は j−i≦−3j-i\leqq-3、すなわち 4→14\to1、5→1,25\to1,2、6→1,2,36\to1,2,3 の計 66 通り。
したがって、P(S1>18)=1−630=45P(S_1>18)=1-\frac6{30}=\frac45。
一般式として、元の面 ii の選択確率が pip_i なら、各条件付き変更先を 15\frac15 として、P(S1>18)=1−p4+2p5+3p65P(S_1>18)=1-\frac{p_4+2p_5+3p_6}5。
問題文に元の面の選び方の指定がないので、6面から等しい確率で選ぶと仮定する。

(2)

11 個のサイコロの合計の増減を D=j−iD=j-i とおく。
S2=42+D1+D2=36S_2=42+D_1+D_2=36 だから、D1+D2=−6D_1+D_2=-6。
各 DD は −5-5 以上 55 以下なので、該当組は (−1,−5),(−2,−4),(−3,−3),(−4,−2),(−5,−1)(-1,-5),(-2,-4),(-3,-3),(-4,-2),(-5,-1)。
3030 通りの変更のうち D=−rD=-r となるのは 6−r6-r 通りだから、D=−1,−2,−3,−4,−5D=-1,-2,-3,-4,-5 の度数は 5,4,3,2,15,4,3,2,1。
独立な 22 個の変更 302=90030^2=900 通りのうち、有利なものは 5⋅1+4⋅2+3⋅3+2⋅4+1⋅5=355\cdot1+4\cdot2+3\cdot3+2\cdot4+1\cdot5=35 通り。
したがって、35900=7180\frac{35}{900}=\frac7{180}。
一般式として、元の面の選択確率を共通に pip_i とし独立に作るなら、qr=P(D=−r)=pr+1+⋯+p65q_r=P(D=-r)=\frac{p_{r+1}+\cdots+p_6}5（r=1,…,5r=1,\ldots,5）として、求める確率は 2q1q5+2q2q4+q322q_1q_5+2q_2q_4+q_3^2。
pi=16p_i=\frac16 のとき、上記数値を得る。
22 個の面選択分布が異なる場合は、各 qq をそれぞれの分布で置き、55 つの積をそのまま加える。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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