3埼玉医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

次の文章を読み、下の問い（問1〜3）に答えよ。

図1のような、座標平面上の長方形の領域 $D=\left\{(x,\,y)\ \middle|\ 0\leqq x\leqq d,\ 0\leqq y\leqq n+\dfrac{1}{2}-d\right\}$ を考える。ただし、$n$ は定数で、2以上の自然数である。また、$d$ は $1\leqq d\leqq n$ の実数値をとる変数である。$x$ 座標、$y$ 座標ともに自然数である点（図1の黒丸）の中で $D$ に含まれるものの個数は、$d$ とともに変化するので、これを $d$ の関数とみなして $m(d)$ と表す。

（図1：原点を左下の頂点とし、横 $d$、縦 $n+\dfrac{1}{2}-d$ の長方形 $D$ と、$x$ 座標・$y$ 座標がともに自然数の点を黒丸で示した図。）

問1 $m(1)=\boxed{15}$、$m\left(\dfrac{3}{2}\right)=\boxed{16}$、$m(2)=\boxed{17}$ である。また、
$$\displaystyle\lim_{d\to\frac{3}{2}+0}m(d)=\lim_{d\to2-0}m(d)=\boxed{18}$$
である。$\boxed{15}$〜$\boxed{18}$ に入る最も適切なものを、次の①〜⑧のうちからそれぞれ1つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。

① $n-2$　② $n-1$　③ $n$　④ $n+1$　⑤ $2n-4$　⑥ $2n-2$　⑦ $2n$　⑧ $2n+2$

問2 $k$ を $n-1$ 以下の自然数とする。$k\leqq d\leqq k+\dfrac{1}{2}$ のとき、$m(d)=\boxed{19}$ である。また、$k+\dfrac{1}{2}<d<k+1$ のとき、$m(d)=\boxed{20}$ である。$\boxed{19}$、$\boxed{20}$ に入る最も適切なものを、次の①〜⑧のうちからそれぞれ1つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。

① $n-k$　② $nk-1$　③ $nk-2k$　④ $nk-k^{2}$　⑤ $nk$　⑥ $2nk-k^{2}$　⑦ $2nk-2k$　⑧ $nk-k^{2}-k$

問3 $n=17$ のとき、$m(d)$ の最大値は $\boxed{21}\boxed{22}$ である。各枠に当てはまる符号または数字をマークせよ。