2埼玉医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

次の文章を読み、下の問い（問1〜3）に答えよ。
$$I=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}+1\right)dx$$
とする。

問1 定積分 $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left\{\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}dx$ において、変数 $x$ を $x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\theta$ により $\theta$ に置き換え、再び $\theta$ を $x$ と書き換えることで、
$$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left\{\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}dx=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\boxed{10}\right)dx$$
と変形できる。$\boxed{10}$ に入る最も適切なものを、次の①〜⑧のうちから1つ選べ。

① $x^{2}$　② $\sqrt{x}$　③ $e^{x}$　④ $\sin x$　⑤ $\cos x$　⑥ $\tan x$　⑦ $\dfrac{1}{x}$　⑧ $\cos2x$

問2 任意の実数 $x$ に対して、$\sin x+\cos x=\sqrt{\boxed{11}}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{\boxed{12}}\right)$ が成り立つ。各枠に当てはまる符号または数字をマークせよ。

問3 $I=\dfrac{\pi}{\boxed{13}}\log\boxed{14}$ である。各枠に当てはまる符号または数字をマークせよ。