埼玉医科大学/2023年度/前期

4埼玉医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

場合の数と確率

難易度勝負 レベル 4/10 目安 15分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

埼玉医科大学2023年度第4問
次の文章を読み、下の問い(問1〜3)の各枠に当てはまる符号または数字をマークせよ。

4枚のコインを同時に投げ、表が出たコインの枚数を数えることを4回繰り返した。

問1 4回のすべてで表が出るコインの枚数が2以上になる確率は
(23242526)4 \left(\dfrac{\boxed{23}\boxed{24}}{\boxed{25}\boxed{26}}\right)^{4}
である。

問2 4回の中で表が出るコインの枚数の最小値が2である確率は
27282930313233 \dfrac{\boxed{27}\boxed{28}\boxed{29}}{\boxed{30}\boxed{31}\boxed{32}\boxed{33}}
である。

問3 4回の中で表が出るコインの枚数の最小値が2、かつ最大値が4である確率は
34353637383940 \dfrac{\boxed{34}\boxed{35}\boxed{36}}{\boxed{37}\boxed{38}\boxed{39}\boxed{40}}
である。

出典:埼玉医科大学 2023年度 前期 数学 第4問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 問1
    (1116)4\left(\dfrac{11}{16}\right)^{4}
  • 問2
    2191024\dfrac{219}{1024}
  • 問3
    2674096\dfrac{267}{4096}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

1回で表の枚数が kk 枚の確率は 4Ck(12)4{}_{4}\mathrm{C}_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}:0〜4枚の順に 1, 4, 6, 4, 116\dfrac{1,\,4,\,6,\,4,\,1}{16}。「最小値が2」=「すべて2以上」−「すべて3以上」。問3 は包除原理。

解答

1回で表が kk 枚の確率は、k=0,1,2,3,4k=0,1,2,3,4 の順に 116, 416, 616, 416, 116\dfrac{1}{16},\,\dfrac{4}{16},\,\dfrac{6}{16},\,\dfrac{4}{16},\,\dfrac{1}{16}。

問1 1回で2枚以上の確率は 1116\dfrac{11}{16} なので (1116)4\left(\dfrac{11}{16}\right)^{4}。

問2 すべて3枚以上の確率は (516)4\left(\dfrac{5}{16}\right)^{4}。よって
(1116)4−(516)4=14641−62565536=1401665536=2191024. \left(\dfrac{11}{16}\right)^{4}-\left(\dfrac{5}{16}\right)^{4}=\dfrac{14641-625}{65536}=\dfrac{14016}{65536}=\dfrac{219}{1024}.

問3 すべて2〜4枚で、2枚と4枚がどちらも少なくとも1回出る確率。包除原理で
114−54−104+44164=14641−625−10000+25665536=427265536=2674096 \dfrac{11^{4}-5^{4}-10^{4}+4^{4}}{16^{4}}=\dfrac{14641-625-10000+256}{65536}=\dfrac{4272}{65536}=\dfrac{267}{4096}
(545^{4}:すべて3〜4枚、10410^{4}:すべて2〜3枚、444^{4}:すべて3枚)。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 反復試行
  • 余事象
  • 包除原理

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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