3佐賀大学 2022年 数学 第3問解答・解説

関数を微分すると
$$f'(x)=-2xe^{-x^2},\qquad f''(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}.$$

(1) $e^{-x^2}>0$ だから、$f''(a)=0$ は $4a^2-2=0$ と同値である。$a>0$ より
$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

$f''(x)$ の符号は $4x^2-2$ の符号と一致する。したがって $x<-1/\sqrt{2}$ または $x>1/\sqrt{2}$ では $f''(x)>0$ なので下に凸、$-1/\sqrt{2}<x<1/\sqrt{2}$ では $f''(x)<0$ なので上に凸である。$x=\pm1/\sqrt{2}$ の前後で符号が変わり、$f(\pm1/\sqrt{2})=e^{-1/2}$ だから、変曲点は
$$\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},e^{-1/2}\right),\qquad \left(\frac{1}{\sqrt{2}},e^{-1/2}\right)$$
である。

(2) 直線 $y=f(a)=e^{-1/2}$ と曲線の交点は、$e^{-x^2}=e^{-1/2}$ より $x=\pm a$ である。$-a<x<a$ では曲線が直線より上にある。
領域は $e^{-1/2}\leqq y\leqq1$ の範囲にあり、高さ $y$ での切り口は $|x|\leqq\sqrt{-\log y}$ の線分である。これを $y$ 軸の周りに回転すると、半径 $\sqrt{-\log y}$ の円盤になる。よって円盤の断面積を $y$ について積分して、
$$V=\pi\int_{e^{-1/2}}^{1}(-\log y)\,dy =\pi\Bigl[y-y\log y\Bigr]_{e^{-1/2}}^{1} =\pi\left(1-\frac{3}{2}e^{-1/2}\right).$$