2佐賀大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) 「ちょうどn回目に表が5回になる」には、最初の $n-1$ 回で表が4回出て、最後の第n回に表が出なければならない。最初の $n-1$ 回のうち表が出る4回の位置を選ぶ方法は ${}_{n-1}\mathrm{C}_{4}$ 通り、各試行列の確率は $2^{-n}$ だから
$$\boxed{p_n=\frac{{}_{n-1}\mathrm{C}_{4}}{2^n}}\qquad(n\geqq5).$$
(2) 隣接項の比は
$$\frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{n}{2(n-4)}.$$
これは $5\leqq n<8$ で1より大、$n=8$ で1、$n>8$ で1より小。従って最大を取るのは $n=8,9$ のときであり、
$$\boxed{p_8=p_9=\frac{35}{256}}.$$