4佐賀大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

点 A と B が異なるため $z\ne1$ である。このとき
$$\mathrm{AB}=|z-1|,\qquad \mathrm{BC}=|z^{2}-z|=|z|\,|z-1|,\qquad \mathrm{CA}=|z^{2}-1|=|z-1|\,|z+1|.$$
正三角形なら $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$ だから、$|z-1|>0$ に注意して
$$|z|=1,\qquad |z+1|=1$$
を得る。$z=x+yi$ とおくと、
$$x^{2}+y^{2}=1,\qquad (x+1)^{2}+y^{2}=1$$
なので、差をとって $x=-\dfrac{1}{2}$、さらに $y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる。逆にこの 2 つの値では $|z|=|z+1|=1$ かつ $z\ne1$ なので、上の三辺の長さはすべて等しい。よって
$$z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\qquad z=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i.$$

(2)

複素数 $u$、$v$ が表す平面ベクトルの内積は、$u\overline{v}$ の実部である。$z=x+yi$ とおき、各頂点で直角となる条件を調べる。

点 A で直角となる条件は、$(z-1)\overline{(z^{2}-1)}$ の実部が $|z-1|^{2}(x+1)$ で、これが 0 となることである。
三角形では $z\ne1$ なので $x=-1$ である。この直線上で点が重なるのは $z=-1$（$\mathrm{A}=\mathrm{C}$）だけだから、$z=-1$ を除く。

点 B で直角となる条件は、$(1-z)\overline{(z^{2}-z)}$ の実部が $-|z-1|^{2}x$ で、これが 0 となることである。したがって $x=0$ である。この直線上で点が重なるのは $z=0$（$\mathrm{B}=\mathrm{C}$）だけだから、$z=0$ を除く。

点 C で直角となる条件は、$(1-z^{2})\overline{(z-z^{2})}$ の実部が $|1-z|^{2}\left(|z|^{2}+x\right)$ で、これが 0 となることである。三角形では $z\ne1$ だから $|z|^{2}+x=0$、すなわち
$$x^{2}+y^{2}+x=0\quad\text{すなわち}\quad \left|z+\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}.$$
この円周上で点が重なるのは $z=0$（$\mathrm{B}=\mathrm{C}$）または $z=-1$（$\mathrm{A}=\mathrm{C}$）なので、この 2 点を除く。

以上より、求める図形は、直線 $x=-1$ から $z=-1$ を除いたもの、直線 $x=0$ から $z=0$ を除いたもの、および中心 $-\dfrac{1}{2}$、半径 $\dfrac{1}{2}$ の円周から $z=-1$、$0$ を除いたものの和集合である。