3島根大学 2025年 数学 第3問解答・解説

置換積分で(1)を計算し、(2)は分子をnでくくって右端和に直す。単調減少関数の積分と長方形の面積の和との差を評価し、その収束から極限を求める。

(1) $x=\sin\theta$ とおくと、$0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}$ であり、$\sqrt{1-x^2}=\cos\theta$、$dx=\cos\theta\,d\theta$ となる。したがって
$$\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx =\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta =\int_0^{\pi/2}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta =\frac{\pi}{4}.$$
(2) $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ とおく。$0\leqq x\leqq1$ で $f$ は連続かつ単調減少である。また
$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2,\qquad \sqrt{n^2-k^2}=n f\!\left(\frac{k}{n}\right)$$
より、求める数列を $A_n$ とすると
$$A_n=\frac{2}{n+1}\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right) =\frac{2n}{n+1}R_n,\qquad R_n=\frac1n\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right).$$
$f$ は単調減少だから、各 $k=1,\ldots,n$ について
$$\frac1n f\!\left(\frac{k}{n}\right) \leqq \int_{(k-1)/n}^{k/n}f(x)\,dx \leqq \frac1n f\!\left(\frac{k-1}{n}\right).$$
これらを加えると
$$R_n\leqq I\leqq \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f\!\left(\frac{k}{n}\right), \qquad I=\int_0^1 f(x)\,dx,$$
となり、右辺と $R_n$ の差は
$$\frac{f(0)-f(1)}n=\frac1n$$
である。よって $0\leqq I-R_n\leqq\frac1n$ から $R_n\to I$。 (1) より $I=\frac{\pi}{4}$ であり、$\frac{2n}{n+1}\to2$ だから
$$\lim_{n\to\infty}A_n=2I=\frac{\pi}{2}.$$