1大阪医科薬科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

〔1〕

石の色だけを区別するので、並び方は黒石の位置3か所を10か所から選ぶことで一意に決まる。
(1)
$$\boxed{{}_{10}\mathrm{C}_{3}=120\text{通り}}.$$
(2)
黒石3個が連続する並びは、長さ3の黒石ブロックの開始位置が1から8までの8通りである。全120通りが等確率なので
$$\boxed{\frac{8}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}}=\frac1{15}}.$$
(3)
黒石の位置を $i_1<i_2<i_3$ とする。求める部分がないための必要十分条件は、隣り合う黒石の位置差 $d_1=i_2-i_1$, $d_2=i_3-i_2$ がともに1または2であること（間の白石が0個または1個）である。
$d_1,d_2$ をそれぞれ1または2に固定すると、$i_1$ の選び方は $10-d_1-d_2$ 通りだから、そのような補事象は
$$(8+7+7+6)=\sum_{d_1=1}^{2}\sum_{d_2=1}^{2}(10-d_1-d_2)=28\text{通り}.$$
したがって求める確率は
$$\boxed{\frac{120-28}{120}=\frac{23}{30}}.$$
検算
求める部分がある列では、3個の黒石の隣接位置差の少なくとも一方が3以上となる。全120通りから差が両方1または2の28通りを除いた92通りと一致する。