3大阪医科薬科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

〔3〕

(1)
曲線の下側は $x$ 軸であるから
$$S(R)=\int_a^b\frac{dx}{x}=\boxed{\log b-\log a}.$$
(2)
$g=\sqrt{ab}$ とおく。領域 $T$ は $a\leqq x\leqq g$ の部分と $g\leqq x\leqq b$ の部分の2つの台形に分けられる。
$$\begin{aligned} S(T) &=\frac{g-a}{2}\left(\frac1a+\frac1g\right) +\frac{b-g}{2}\left(\frac1g+\frac1b\right)\\ &=\frac12\left(\frac{g^2-a^2}{ag}+\frac{b^2-g^2}{bg}\right) =\frac12\left(\frac{b-a}{g}+\frac{b-a}{g}\right) =\boxed{\frac{b-a}{\sqrt{ab}}}. \end{aligned}$$$$S(T)=\frac{g-a}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{g}\right)+\frac{b-g}{2}\left(\frac{1}{g}+\frac{1}{b}\right)$$$$=\frac{1}{2}\left(\frac{g^2-a^2}{ag}+\frac{b^2-g^2}{bg}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{b-a}{g}+\frac{b-a}{g}\right)=\boxed{\frac{b-a}{\sqrt{ab}}}.$$
次に $m=(a+b)/2$ とおくと、$C$ 上の $(m,1/m)$ における接線は
$$y=\frac1m-\frac{x-m}{m^2}=\frac2m-\frac{x}{m^2}.$$
この直線の $x=a,b$ での高さはそれぞれ $b/m^2,a/m^2$ で、いずれも正である。よって
$$S(U)=\frac{b-a}{2}\left(\frac{b}{m^2}+\frac{a}{m^2}\right) =\boxed{\frac{2(b-a)}{a+b}}.$$
(3)
$u\leqq x\leqq v$（$0<u<v$）で曲線 $y=1/x$ の両端を結ぶ弦は
$$L(x)=\frac{u+v-x}{uv},\qquad L(x)-\frac1x=\frac{(x-u)(v-x)}{uvx}\geqq0.$$
したがって $T$ の上側を作る弦は曲線より内部で厳密に上にあり、$S(R)<S(T)$。
一方、$m=(a+b)/2$ における接線を $M(x)=2/m-x/m^2$ とすると
$$\frac1x-M(x)=\frac{(x-m)^2}{xm^2}\geqq0.$$
よって曲線は接線より上にあり、区間内部で等号でないので $S(U)<S(R)$。面積公式を代入すると
$$\frac{2(b-a)}{a+b}<\log b-\log a<\frac{b-a}{\sqrt{ab}}.$$
$b-a>0$ で割れば
$$\boxed{\frac2{a+b}<\frac{\log b-\log a}{b-a}<\frac1{\sqrt{ab}}}.$$
検算
$a=1,b=4$ では $S(U)=6/5$, $S(R)=\log4$, $S(T)=3/2$ となり、下の接線・上の弦の面積比較と整合する。