1金沢医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

正方形の周の長さは $12$ である。反時計回りの移動を正とすれば、1回の試行の移動量は
$$-6,-5,\cdots,-1,1,\cdots,5,6$$
の12通りが等確率である。位置は移動量の和を12で割った余りで定まる。

(1)

AからCまでは周上で6離れている。2回の移動量の和は $-12$ から12の範囲なので、Cにいるには和が $-6$ または6である。和が6となる順序付き組は $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$ の5通り、和が $-6$ も5通り。従って
$$\dfrac{10}{12^2}=\dfrac5{72}.$$

(2)

AからBまでは反時計回りに3である。2回の移動量の和は3と合同で、範囲内にある3または $-9$。和が3となる組は、正の2数の和が3となる2通りと、差が3となる異符号の6通りの計8通り。和が $-9$ となる組は、負の2数の絶対値の和が9となる4通り。従って
$$\dfrac{8+4}{12^2}=\dfrac1{12}.$$

(3)

図より $DE=1$。Aから反時計回りに進むと、B,C,Dまでの距離はそれぞれ3,6,9で、Eまでは10である。サイコロ3回の和は3から18なので、3回とも反時計回りに動いてEに着くには目の和が10でなければならない。和が10となるサイコロの順序付き組は27通りである。$u_i=d_i-1$ とおくと $u_1+u_2+u_3=7$ の非負整数解は ${}_{9}\mathrm{C}_{2}=36$ 通り。出目の上限から $u_i\leqq5$ が必要であり、ある $u_i\geqq6$ となる場合は、その添字の選び方が3通り、残りの和1の分け方が3通りなので9通りである（2個以上の $u_i$ が6以上にはなれない）。したがって $36-9=27$ 通り。コインは3回とも裏で固定されるため
$$\dfrac{27}{12^3}=\dfrac1{64}.$$

(4)

2回の符号付き和が $s$ となる順序付き組数を $N_2(s)$ とする。$s=1,2,3,4,5,6$ に対して、同符号の組と異符号の組を数えると
$$N_2(s)=10,9,8,7,6,5, \qquad N_2(-s)=N_2(s).$$
3回後にAへ戻るには、3回の和が $-12,0,12$ のいずれかである。和0の組数は、最後の移動量が $\pm1,\cdots,\pm6$ の各場合を足して
$$2(10+9+8+7+6+5)=90.$$
和12となるには3回とも反時計回りで、サイコロの目の和が12。1から6までの3数の和が12となる組は、$u_i=6-d_i$ と置けば $u_1+u_2+u_3=6$ の非負整数解28通りから、ある $u_i=6$ となる3通りを除き25通り。同様に和 $-12$ も25通り。よって求める確率は
$$\dfrac{90+25+25}{12^3}=\dfrac{140}{1728}=\dfrac{35}{432}.$$