4大阪医科薬科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

〔4〕

$u=\cos\theta$、$v=\sin\theta$ とおくと、$\mathrm{M}\left(\dfrac{u}{2},\,\dfrac{v}{2}\right)$ である。

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{MA}}=\left(\dfrac{u}{2},\,-\dfrac{v}{2}\right)$ である。反時計回りの $90^{\circ}$ 回転は $(s,\,t)$ を $(-t,\,s)$ に対応させるので、
$$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\left(\dfrac{v}{2},\,\dfrac{u}{2}\right).$$

(2)

$\mathrm{B}=\mathrm{M}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ であり、対角線の中点は共通なので $\mathrm{D}=\mathrm{M}-\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ である。よって
$$\mathrm{B}\left(\dfrac{u+v}{2},\,\dfrac{u+v}{2}\right),\qquad \mathrm{D}\left(\dfrac{u-v}{2},\,\dfrac{v-u}{2}\right).$$
ここで $u=\cos\theta$、$v=\sin\theta$ である。

(3)

対角線の長さは $|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\sqrt{u^{2}+v^{2}}=1$ である。したがって正方形の中心 $\mathrm{M}$ から各頂点までの距離は $\dfrac{1}{2}$ であり、正方形全体は中心 $\mathrm{M}$、半径 $\dfrac{1}{2}$ の円内にある。また $|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|=\dfrac{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}{2}=\dfrac{1}{2}$ である。正方形内の任意の点 $\mathrm{X}$ に対し、三角不等式から
$$|\overrightarrow{\mathrm{OX}}|\leqq|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|+|\overrightarrow{\mathrm{MX}}|\leqq\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1.$$
全ての $\theta$ について成り立つので、$W$ は $x^{2}+y^{2}\leqq1$ で表される領域に含まれる。

(4)

$\theta=0$ の正方形は $\left|x-\dfrac{1}{2}\right|+|y|\leqq\dfrac{1}{2}$、$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ の正方形は $|x|+\left|y-\dfrac{1}{2}\right|\leqq\dfrac{1}{2}$ と表される。第 1 象限の三角形
$$\{(x,\,y)\mid x\geqq0,\ y\geqq0,\ x+y\leqq1\}$$
を考える。$x\geqq y$ の部分では、第 1 の正方形について、$x\leqq\dfrac{1}{2}$ なら $\left|x-\dfrac{1}{2}\right|+y=\dfrac{1}{2}-x+y\leqq\dfrac{1}{2}$、$x\geqq\dfrac{1}{2}$ なら $\left|x-\dfrac{1}{2}\right|+y=x-\dfrac{1}{2}+y\leqq\dfrac{1}{2}$ である。よってこの部分は第 1 の正方形に含まれる。$y\geqq x$ の部分は同様に第 2 の正方形に含まれる。したがって、この三角形は $W$ に含まれる。
座標表示から、原点中心の回転 $R(x,\,y)=(-y,\,x)$ は
$$R(\mathrm{A}_{\theta})=\mathrm{C}_{\theta+\dfrac{\pi}{2}},\quad R(\mathrm{B}_{\theta})=\mathrm{D}_{\theta+\dfrac{\pi}{2}},\quad R(\mathrm{C}_{\theta})=\mathrm{A}_{\theta+\dfrac{\pi}{2}},\quad R(\mathrm{D}_{\theta})=\mathrm{B}_{\theta+\dfrac{\pi}{2}}$$
を満たす。（$\mathrm{A}_{\theta}$ などは、$\theta$ に対応する正方形の頂点を表す。）従って $W$ はこの回転で不変であり、この三角形を 4 回転した菱形
$$|x|+|y|\leqq1$$
全体が $W$ に含まれる。この菱形の対角線の長さはともに 2 だから、面積は 2 である。よって $S\geqq2$ である。