2新潟大学 2025年 数学 第2問解答・解説

2次方程式 $x^{2}-x-1=0$ の解 $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$、$\beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ に対して、数列 $\{a_{n}\}$ を $a_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}$ $(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ により定める。次の問いに答えよ。

(1) $a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$、$a_{4}$ を求めよ。

(2) 自然数 $n$ に対して、$\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}=\alpha^{n}$、$\beta^{n+2}-\beta^{n+1}=\beta^{n}$ が成り立つことを示せ。

(3) 数列 $\{b_{n}\}$ を $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ $(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定める。自然数 $n$ に対して、$b_{n+1}=a_{n}$ が成り立つことを示せ。

(4) 自然数 $n$ に対して、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{n+2}-3$ が成り立つことを示せ。

(5) $a_{9}$ を求めよ。