V日本大学 2026年 数学 第V問解答・解説

台形の平行関係を位置ベクトルに反映し、内積で角と面積を求めた。交点は直線の媒介表示を連立し、最後の四角形は直交座標で頂点を求めて面積公式を適用した。

$\vec{b}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{d}=\overrightarrow{AD}$ とおく。$AB/\!/ DC$ かつ $CD=\frac12 AB$ だから $\overrightarrow{DC}=\frac12\vec{b}$、従って $\overrightarrow{BC}=\vec{d}-\frac12\vec{b}$ である。
(1) $BC=2,\ DA=3,\ AB=4$ を用いると
$$4=|\overrightarrow{BC}|^2 =\left|\vec{d}-\frac12\vec{b}\right|^2 =|\vec{d}|^2+\frac14|\vec{b}|^2-\vec{b}\cdot\vec{d} =9+4-\vec{b}\cdot\vec{d},$$
よって $\vec{b}\cdot\vec{d}=9$ である。$E$ は $AB$ の中点だから $\overrightarrow{DE}=\frac12\vec{b}-\vec{d}=-\overrightarrow{BC}$ となり、$DE=BC=2$ である。
(2) $\cos\angle BAD=\frac{\vec{b}\cdot\vec{d}}{|AB||AD|}=\frac{9}{12}=\frac34$ である。従って $\sin\angle BAD=\frac{\sqrt7}{4}$ だから
$$[ABD]=\frac12\cdot AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD =\frac12\cdot4\cdot3\cdot\frac{\sqrt7}{4} =\frac{3\sqrt7}{2}.$$
(3) $C$ の位置ベクトルは $\vec{d}+\frac12\vec{b}$ なので、中点の位置ベクトルは
$\overrightarrow{AM}=\frac34\vec{b}+\frac12\vec{d}$、$\overrightarrow{AN}=\frac14\vec{b}+\vec{d}$ である。$P$ は $AM$ 上にあるから $\overrightarrow{AP}=t(\frac34\vec{b}+\frac12\vec{d})$ とおける。また $P$ は $BN$ 上にもあるから $\overrightarrow{AP}=\vec{b}+s(-\frac34\vec{b}+\vec{d})$ とおける。係数比較により $\frac34t=1-\frac34s,\ \frac12t=s$ となり、$t=\frac89,\ s=\frac49$。よって
$\overrightarrow{AP}=\frac23\vec{b}+\frac49\vec{d}$ である。
面積を求めるため、$AB$ を $x$ 軸上にとる。$\vec{b}\cdot\vec{d}=9$ より $D=(\frac94,\frac{3\sqrt7}{4})$ とでき、$B=(4,0)$、$C=(\frac{17}{4},\frac{3\sqrt7}{4})$ となる。上の位置ベクトルから
$$P=(\frac{11}{3},\frac{\sqrt7}{3}),\quad M=(\frac{33}{8},\frac{3\sqrt7}{8}),\quad N=(\frac{13}{4},\frac{3\sqrt7}{4}).$$
四角形 $PMCN$ の頂点をこの順に並べ、座標による面積公式を用いると、面積の2倍は
$$\left(\frac{11}{3}\frac{3\sqrt7}{8}-\frac{\sqrt7}{3}\frac{33}{8}\right) +\left(\frac{33}{8}\frac{3\sqrt7}{4}-\frac{3\sqrt7}{8}\frac{17}{4}\right) +\left(\frac{17}{4}\frac{3\sqrt7}{4}-\frac{3\sqrt7}{4}\frac{13}{4}\right) +\left(\frac{13}{4}\frac{\sqrt7}{3}-\frac{3\sqrt7}{4}\frac{11}{3}\right) =\frac{7\sqrt7}{12}.$$
従って四角形 $PMCN$ の面積は $\frac{7\sqrt7}{24}$ である。