2兵庫医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

原点中心の反時計回り $\dfrac{\pi}{3}$ の回転では、点 $(x,y)$ は
$$\left(x\cos\dfrac{\pi}{3}-y\sin\dfrac{\pi}{3},\ x\sin\dfrac{\pi}{3}+y\cos\dfrac{\pi}{3}\right)$$
に移る。したがって $(3,-2)$ の移り先は
$$\left(\dfrac{3}{2}+\sqrt{3},\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}-1\right)$$
である。

(2)

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,-3)$ である。$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ かつ $\angle\mathrm{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$ なので、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を $\dfrac{\pi}{3}$ または $-\dfrac{\pi}{3}$ 回転したベクトルである。回転公式から
$$(2,-3)\text{ の移り先は }\left(1+\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\ \sqrt{3}-\dfrac{3}{2}\right)\text{ または }\left(1-\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\ -\sqrt{3}-\dfrac{3}{2}\right).$$
これらを $\mathrm{A}(1,1)$ に加えるので
$$\mathrm{C}=\left(2+\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\ \sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\right) \quad\text{または}\quad \mathrm{C}=\left(2-\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\ -\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\right).$$
二つの点はいずれも $\mathrm{AC}=\mathrm{AB}=\sqrt{13}$ で、角 $\mathrm{BAC}$ は $\dfrac{\pi}{3}$ である。

(3)

$\beta\neq0$ とし、直線 $\mathrm{OB}$ を実軸に移す回転を考える。回転後の $\mathrm{A}$ の複素数は $\dfrac{\alpha\overline{\beta}}{|\beta|}$ である。実軸について反射するとその共役になり、さらに逆回転して元の平面に戻すと
$$\gamma=\dfrac{\beta}{|\beta|}\,\overline{\left(\dfrac{\alpha\overline{\beta}}{|\beta|}\right)} =\dfrac{\beta^{2}\overline{\alpha}}{|\beta|^{2}} =\overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)}\,\beta.$$
よって示された。

(4)

原点中心の回転と拡大縮小を施して $\alpha=1$ としてよい。このとき $\beta=x+yi$ とおく。三角形 $\mathrm{OAB}$ は退化していないので $y\neq0$ である。(3) と同じ反射の公式から
$$\gamma=\dfrac{\beta}{\overline{\beta}}=\dfrac{(x+yi)^{2}}{x^{2}+y^{2}},\qquad \delta=\overline{\beta}=x-yi.$$
直線 $\mathrm{DC}$ が定まるため、$\mathrm{C}\neq\mathrm{D}$、すなわち $\gamma-\delta\neq0$ を前提とする。また、$y\neq0$ より $\mathrm{AB}$ の方向ベクトルも零ではない。
$\mathrm{AB}$ の方向ベクトルは $\beta-1=(x-1)+yi$、$\mathrm{DC}$ の方向ベクトルは $\gamma-\delta$ であり、その実部と虚部をそれぞれ $X$、$Y$ とおくと
$$X=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-x,\qquad Y=\dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}}+y.$$
二つの零でない方向ベクトルが平行である条件は、対応する成分の積が等しいことによって表されるので
$$(x-1)\,Y-y\,X =2xy\left(1-\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)=0.$$
$y\neq0$ より $x=0$ または $x^{2}+y^{2}=1$ である。前者は $\mathrm{OA}\perp\mathrm{OB}$、後者は $|\alpha|=|\beta|$、すなわち $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ を表す。したがって $\triangle\mathrm{OAB}$ は $\mathrm{O}$ を直角とする直角三角形、または $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ の二等辺三角形である。