5奈良県立医科大学 2023年 数学 第5問解答・解説

$xyz$ 空間内の点のうち、$x$ 座標、$y$ 座標、$z$ 座標の値がすべて整数である点を格子点という。原点を $O$ とし、3つの格子点 $A,B,C$ に対して次のような命題 $(K)$ を考える。
(K) 空間内のどの格子点 $P(x,y,z)$ を選んでも、
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$
を満たすような整数 $s,t,u$ が存在する。
(1) 次の (ア) と (イ) はどちらも正しい。いずれか一方を選んで、それを証明せよ。ただし、解答の初めにどちらを証明するか明記すること。
(ア) 3点 $A(1,1,0),B(1,1,1),C(0,1,1)$ に対し、命題 $(K)$ は真である。
(イ) 3点 $A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1)$ に対し、命題 $(K)$ は偽である。
(2) 3つの格子点 $A(1,1,0),B(b,1,0),C(0,0,c)$ に対し、命題 $(K)$ が真となるような $(b,c)$ の組を4つ求めよ。