1奈良県立医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 定義域は $x>0$ である。$$f'(x)=a-\frac1x=\frac{ax-1}{x}.$$ 分母は正なので、$0<x<1/a$ で$f'(x)<0$、$x>1/a$ で$f'(x)>0$ となる。したがって$x=1/a$で最小となり、その値は$$f(1/a)=a\cdot\frac1a+b-\log(1/a)=1+b+\log a$$である。
(2) $C_1$上の点を$P(t,\log t+c)$（$t>0$）とする。この点における接線の傾きは$1/t$なので、接線は$$y=\frac1t(x-t)+\log t+c=\frac1t x+\log t+c-1$$である。よって$(m,n)=(1/t,\log t+c-1)$。$m=1/t>0$であり、$t=1/m$を代入すると$n=c-1-\log m$となる。したがって点$(m,n)$の軌跡は$y=c-1-\log x$、$x>0$である。
交点の$x$座標は$\log x+c=c-1-\log x$を満たす。これを整理すると$2\log x=-1$であり、対数の定義域$x>0$で$x=e^{-1/2}$を得る。このとき$y=\log(e^{-1/2})+c=c-1/2$。よって交点は$(e^{-1/2},c-1/2)$のみである。