1名古屋市立大学 2025年 数学 第1問解答・解説

直線AB上のHを1つの実数で表し、ABとの直交条件で決める。Nは直線OHと直線AMの2通りに表し、平行でない2ベクトルの係数比較で交点を求める。

まず、$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=2\cdot6\cdot\frac56=10$ である。

(1) 点 $H$ は直線 $AB$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて $\overrightarrow{OH}=\vec a+u(\vec b-\vec a)$ と表せる。また，$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ であり，$OH\perp AB$ より，
$$0=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB} =\vec a\cdot(\vec b-\vec a)+u|\vec b-\vec a|^2 =(10-4)+u(36+4-20)=6+20u.$$
したがって $u=-\frac{3}{10}$ であるから，
$$\overrightarrow{OH} =\vec a-\frac{3}{10}(\vec b-\vec a) =\frac{13}{10}\vec a-\frac{3}{10}\vec b.$$

(2) $M$ は線分 $OB$ の中点なので，$\overrightarrow{OM}=\frac12\vec b$ である。$N$ は直線 $OH$ と直線 $AM$ の両方にあるから，実数 $s,t$ を用いて，
$$\overrightarrow{ON}=s\overrightarrow{OH} =s\left(\frac{13}{10}\vec a-\frac{3}{10}\vec b\right), \qquad \overrightarrow{ON} =\vec a+t\left(\frac12\vec b-\vec a\right) =(1-t)\vec a+\frac{t}{2}\vec b.$$
$\cos\theta=\frac56\ne\pm1$ より $\vec a$ と $\vec b$ は平行でない。よって係数を比較すると，
$$\frac{13s}{10}=1-t,\qquad -\frac{3s}{10}=\frac{t}{2}.$$
第2式から $t=-\frac{3s}{5}$ であり，第1式に代入して $1+\frac{3s}{5}=\frac{13s}{10}$，すなわち $s=\frac{10}{7}$ を得る。したがって，
$$\overrightarrow{ON} =\frac{10}{7}\left(\frac{13}{10}\vec a-\frac{3}{10}\vec b\right) =\frac{13}{7}\vec a-\frac{3}{7}\vec b.$$
このとき $t=-\frac67$ となり，得られた点は直線 $AM$ 上にもある。