4名古屋市立大学 2025年 数学 第4問解答・解説

曲線を $f(x)=\sqrt{3}\log x$ とおく。定義域は $x>0$ であり、$f'(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{x}$ だから、$x=t$ における接線の傾きは $\dfrac{\sqrt{3}}{t}$ である。

$0<a<b$ より、2本の接線の傾き $m_a=\dfrac{\sqrt{3}}{a}$、$m_b=\dfrac{\sqrt{3}}{b}$ はともに正で $m_a>m_b$ である。したがって両接線の傾き角の差が鋭角 $\dfrac{\pi}{6}$ であり、
$$\frac{m_a-m_b}{1+m_am_b}=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
ここに $m_a,m_b$ を代入すると、
$$\frac{\sqrt{3}(b-a)}{ab+3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\text{すなわち}\quad 3(b-a)=ab+3.$$
よって $b(3-a)=3(a+1)$ である。$0<a<3$ なので、
$$b=\frac{3(a+1)}{3-a}.$$
なお、この値は $b-a=\dfrac{a^2+3}{3-a}>0$ を満たし、与えられた $a<b$ とも合う。

(2) $a=1$ とすると (1) より $b=3$ である。2点での接線をそれぞれ $\ell_1,\ell_3$ とすると、
$$\ell_1:y=\sqrt{3}(x-1),\qquad \ell_3:y=\sqrt{3}\left(\log 3+\frac{x}{3}-1\right).$$
両接線の交点の $x$ 座標を $c$ とすれば、
$$c-1=\log 3+\frac{c}{3}-1\quad\text{ならば}\quad c=\frac{3}{2}\log 3.$$
また、$1<t<3$ では$\frac13<\frac1t<1$ であるから、積分して$$\frac23=\int_1^3\frac13\,dt<\int_1^3\frac{dt}{t}=\log 3<\int_1^3 1\,dt=2.$$したがって$1<c=\frac32\log 3<3$ である。
また $f''(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{x^2}<0$ なので曲線は上に凸であり、各接線は接点以外で曲線より上にある。したがって $x=1$ では $\ell_1$ が、$x=3$ では $\ell_3$ が低い方の接線で、交点は $1<c<3$ にある。囲まれた部分の面積 $S$ は
$$\begin{aligned} S&=\int_1^c\{\sqrt{3}(x-1)-\sqrt{3}\log x\}\,dx\\ &\quad+\int_c^3\left\{\sqrt{3}\left(\log 3+\frac{x}{3}-1\right)-\sqrt{3}\log x\right\}\,dx\\ &=\sqrt{3}\left[\left(\frac{x^2}{2}-x\log x\right)_1^c+\left(x\log 3+\frac{x^2}{6}-x\log x\right)_c^3\right]\\ &=\sqrt{3}\left(1+\frac{c^2}{3}-c\log 3\right). \end{aligned}$$$$S={\int }_1^c\{\sqrt{3}(x-1)-\sqrt{3}\log x\}dx$$$$+{\int }_c^3\left\{\sqrt{3}\left(\log 3+\frac{x}{3}-1\right)-\sqrt{3}\log x\right\}dx$$$$=\sqrt{3}\left[{\left(\frac{x^2}{2}-x\log x\right)}_1^c+{\left(x\log 3+\frac{x^2}{6}-x\log x\right)}_c^3\right]$$$$=\sqrt{3}\left(1+\frac{c^2}{3}-c\log 3\right).$$
ここに $c=\dfrac{3}{2}\log 3$ を代入して、
$$S=\sqrt{3}\left(1-\frac{3}{4}(\log 3)^2\right).$$
各積分の被積分関数は曲線と下側の接線との差であり、面積として正である。