2佐賀大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) 球面Sは中心C(0,0,1)、半径1だから、中心からの距離の式より $x^2+y^2+(z-1)^2=1$。

(2) P=(x,y,z) とする。(1)から x²+y²+z²=2z。したがって AP·BP=(x−1)x+y(y−2)+z²=2z−x−2y。一方 OQ=(a,b,c)、CP=(x,y,z−1) より OQ·CP=ax+by+c(z−1)。差が2になる条件は、球面上の全てのPについて (−1−a)x+(−2−b)y+(2−c)z+c=2。球面上にC±(1,0,0), C±(0,1,0), C±(0,0,1) の6点がある。各±の値がどちらも2なので、対応する座標係数はそれぞれ0。よって −1−a=0, −2−b=0, 2−c=0。定数項も2である必要があり c=2。したがって $a=-1,\ b=-2,\ c=2$。この値を代入すると左辺は球面上で恒等的に2となり、必要性と十分性の両方が分かる。

(3) X=(x,y,z−1) と置けば (1)から |X|=1。AP·BP=2+(-1,-2,2)·X なので、内積の不等式から最大値は $2+\sqrt{1+4+4}=5$。等号は X=(-1,-2,2)/3 で成立する。また AP²+BP²=4z−2x−4y+5=9+(-2,-4,4)·X。よって最大値は $9+\sqrt{4+16+16}=15$。等号条件 X=(-2,-4,4)/6 は先ほどと同じ単位ベクトルなので、両最大値とも実際に球面上で達成する。