／ 2026 年度／ 前期
1 徳島大学 2026年 数学 第1問解答・解説 ベクトル
1 問題2 答え3 解答1 問題徳島大学 2026 年度第1問
△ O A B \triangle OAB △ O A B において、
O A = 2 , O B = 3 , A B = 11 OA=2,\ OB=3,\ AB=\sqrt{11} O A = 2 , O B = 3 , A B = 11 とする。
∠ A O B \angle AOB ∠ A O B の二等分線と辺
A B AB A B の交点を
C C C とし、点
A A A から辺
O B OB O B に下ろした垂線と線分
O C OC O C の交点を
D D D とおく。また、辺
O B OB O B の中点を
M M M とし、線分
A M AM A M と線分
O C OC O C の交点を
E E E とおく。
O A → = a → , O B → = b → \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b} O A = a , O B = b とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 内積
a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{a}\cdot\vec{b} a ⋅ b の値を求めよ。
(2)
O C → \overrightarrow{OC} O C を
a → \overrightarrow{a} a と
b → \overrightarrow{b} b を用いて表せ。
(3)
O D → = k O C → \overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC} O D = k O C となるような実数
k k k の値を求めよ。
(4) 線分
D E DE D E の長さを求めよ。
まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。
2 答え答えを見る 自分の答えと照らし合わせる (2) O C = ( 3 / 5 ) a + ( 2 / 5 ) b OC=(3/5)a+(2/5)b O C = ( 3/5 ) a + ( 2/5 ) b (4) D E = 4 21 21 DE=\dfrac{4\sqrt{21}}{21} D E = 21 4 21 3 解答解答を見る 途中式つきの解答 解答 (1)
A B → = b ⃗ − a ⃗ \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a A B = b − a より、
11 = A B 2 = ( b ⃗ − a ⃗ ) ⋅ ( b ⃗ − a ⃗ ) = 9 + 4 − 2 a ⃗ ⋅ b ⃗ . 11=AB^2=(\vec b-\vec a)\cdot(\vec b-\vec a)=9+4-2\vec a\cdot\vec b. 11 = A B 2 = ( b − a ) ⋅ ( b − a ) = 9 + 4 − 2 a ⋅ b . したがって、
a ⃗ ⋅ b ⃗ = 1. \vec a\cdot\vec b=1. a ⋅ b = 1. (2) 角の二等分線の性質から
A C : C B = O A : O B = 2 : 3 AC:CB=OA:OB=2:3 A C : C B = O A : O B = 2 : 3 である。よって、
O C → = 3 a ⃗ + 2 b ⃗ 5 = 3 5 a ⃗ + 2 5 b ⃗ . \overrightarrow{OC}=\frac{3\vec a+2\vec b}{5}=\frac35\vec a+\frac25\vec b. O C = 5 3 a + 2 b = 5 3 a + 5 2 b . (3)
O D → = k O C → \overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC} O D = k O C とおく。
A D ⊥ O B AD\perp OB A D ⊥ O B だから
A D → ⋅ b ⃗ = 0 \overrightarrow{AD}\cdot\vec b=0 A D ⋅ b = 0 であり、
( k 3 a ⃗ + 2 b ⃗ 5 − a ⃗ ) ⋅ b ⃗ = 0. \left(k\frac{3\vec a+2\vec b}{5}-\vec a\right)\cdot\vec b=0. ( k 5 3 a + 2 b − a ) ⋅ b = 0. a ⃗ ⋅ b ⃗ = 1 \vec a\cdot\vec b=1 a ⋅ b = 1 、
b ⃗ ⋅ b ⃗ = 9 \vec b\cdot\vec b=9 b ⋅ b = 9 を代入すると、
k 3 + 18 5 − 1 = 0 , k = 5 21 . k\frac{3+18}{5}-1=0,\qquad k=\frac5{21}. k 5 3 + 18 − 1 = 0 , k = 21 5 . (4)
O M → = 1 2 b ⃗ \overrightarrow{OM}=\frac12\vec b O M = 2 1 b とする。
E E E は線分
O C OC O C 上にあるので
O E → = t O C → \overrightarrow{OE}=t\overrightarrow{OC} O E = t O C とおく。また、
E E E は線分
A M AM A M 上にあるから、ある実数
r r r により
O E → = ( 1 − r ) a ⃗ + r 2 b ⃗ . \overrightarrow{OE}=(1-r)\vec a+\frac r2\vec b. O E = ( 1 − r ) a + 2 r b . O C → = ( 3 a ⃗ + 2 b ⃗ ) / 5 \overrightarrow{OC}=(3\vec a+2\vec b)/5 O C = ( 3 a + 2 b ) /5 を用いて係数を比べると、
1 − r = 3 t 5 , r 2 = 2 t 5 . 1-r=\frac{3t}{5},\qquad \frac r2=\frac{2t}{5}. 1 − r = 5 3 t , 2 r = 5 2 t . これより
r = 4 t / 5 r=4t/5 r = 4 t /5 なので
t = 5 / 7 t=5/7 t = 5/7 、すなわち
O E → = 5 7 O C → \overrightarrow{OE}=\frac57\overrightarrow{OC} O E = 7 5 O C である。(3)より
O D → = 5 21 O C → \overrightarrow{OD}=\frac5{21}\overrightarrow{OC} O D = 21 5 O C だから、
D E = ( 5 7 − 5 21 ) ∣ O C ∣ = 10 21 ∣ O C ∣ . DE=\left(\frac57-\frac5{21}\right)|OC|=\frac{10}{21}|OC|. D E = ( 7 5 − 21 5 ) ∣ O C ∣ = 21 10 ∣ O C ∣. さらに、
∣ O C ∣ 2 = ∣ 3 a ⃗ + 2 b ⃗ 5 ∣ 2 = 9 ⋅ 4 + 12 ⋅ 1 + 4 ⋅ 9 25 = 84 25 , ∣ O C ∣ = 2 21 5 . |OC|^2=\left|\frac{3\vec a+2\vec b}{5}\right|^2=\frac{9\cdot4+12\cdot1+4\cdot9}{25}=\frac{84}{25},\qquad |OC|=\frac{2\sqrt{21}}5. ∣ O C ∣ 2 = 5 3 a + 2 b 2 = 25 9 ⋅ 4 + 12 ⋅ 1 + 4 ⋅ 9 = 25 84 , ∣ O C ∣ = 5 2 21 . したがって、
D E = 10 21 ⋅ 2 21 5 = 4 21 21 . DE=\frac{10}{21}\cdot\frac{2\sqrt{21}}5=\frac{4\sqrt{21}}{21}. D E = 21 10 ⋅ 5 2 21 = 21 4 21 . 読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせ から教えてください。
徳島大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？
まとめてほしい 
白衣のものさし
