1富山大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

$t=\tan\dfrac{x}{2}$（$-\pi<x<\pi$）より $\cos\dfrac{x}{2}>0$ である。倍角の公式を使うと
$$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^{2}},\qquad \cos x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.$$
また、$t$ を $x$ で微分すると
$$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1+t^{2}}{2}>0$$
だから
$$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{2}{1+t^{2}}.$$

(2)

$t=\tan\dfrac{x}{2}$ と置くと、$x=0,\ \dfrac{\pi}{2}$ はそれぞれ $t=0,\ 1$ に移る。(1) より
$$1+\sin x+\cos x=\dfrac{2(1+t)}{1+t^{2}},\qquad dx=\dfrac{2}{1+t^{2}}\,dt.$$
したがって
$$\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{dx}{1+\sin x+\cos x}=\int_{0}^{1}\dfrac{dt}{1+t}=\log 2.$$

(3)

$x=\dfrac{\pi}{2}-u$ と置換すると、積分する $u$ の範囲は $0\leqq u\leqq\dfrac{\pi}{2}$ のままで、$\sin x$ と $\cos x$ が入れ替わり、分母 $1+\sin x+\cos x$ は変わらない。よって二つの定積分は等しい。

(4)

二つの積分を $A,\ B$ とすると、(3) より $A=B$。また、二つの被積分関数の和は
$$\dfrac{(1+2\sin x)+(1+2\cos x)}{1+\sin x+\cos x}=2$$
なので
$$A+B=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}2\,dx=\pi.$$
したがって $A=\dfrac{\pi}{2}$ である。

(5)

求める積分を $K$ とする。$x=\dfrac{\pi}{2}-u$ の置換により、分子を $\cos x$ とした積分も $K$ に等しい。したがって、(2) を用いて
$$2K=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x+\cos x}{1+\sin x+\cos x}\,dx=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\left(1-\dfrac{1}{1+\sin x+\cos x}\right)dx=\dfrac{\pi}{2}-\log 2$$
となる。ゆえに
$$K=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\log 2}{2}.$$

半角の正接の置換で三角関数と微分を表し、最初の積分を計算する。残りは区間の反射対称性と被積分関数の和を使って評価する。