4名古屋市立大学 2023年 数学 第4問解答・解説

糸の接点の偏角を媒介変数とし、半円からほどける間の媒介曲線の長さと、ほどけ切った後に固定端を中心として進む円弧の長さを別々に求める。

半円との接点を$T=(\cos\theta,\sin\theta)$とする。初めの点$B=(\sqrt2,0)$から円への接線の長さは、$OB=\sqrt2$、$OT=1$より$BT=1$である。また$\triangle OTB$は$T$で直角をなし、二辺$OT,BT$が等しいから$\angle BOT=\pi/4$、したがって初めの接点の偏角は$\theta=\pi/4$である。固定端$A=(-1,0)$から$T$まで半円に沿う長さは$3\pi/4$なので、糸全体の長さを$L$とすると$$L=\frac{3\pi}{4}+1.$$

糸がほどけている間、接点の偏角$\theta$は$\dfrac{\pi}{4}$から$\pi$まで増える。残っている弧の長さは$\pi-\theta$であるから、接点から$P$までの直線部分の長さは$$s=L-(\pi-\theta)=1+\theta-\frac{\pi}{4}.$$ 接線の向きは初期位置に合わせて$(\sin\theta,-\cos\theta)$であるから、$$P=(x,y)=(\cos\theta+s\sin\theta,\;\sin\theta-s\cos\theta).$$ よって$$\frac{dx}{d\theta}=s\cos\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=s\sin\theta,$$となり、$\theta$を$\pi/4$から$\pi$まで動く間の速さは$\sqrt{(dx/d\theta)^2+(dy/d\theta)^2}=s$である。この部分の長さは$$\int_{\pi/4}^{\pi}\left(1+\theta-\frac{\pi}{4}\right)d\theta=\frac12\left[\left(1+\theta-\frac{\pi}{4}\right)^2\right]_{\pi/4}^{\pi}=\frac{L^2-1}{2}.$$

$\theta=\pi$で糸は半円からほどけ切り、$P=(-1,L)$となる。その後は$AP=L$を保つため、$P$は中心$A$、半径$L$の円上を動く。ほどけ切った瞬間の接線方向は左向きなので、反時計回りに進んで次に$x$軸と交わる点は円の中心角が$\pi/2$だけ進んだ位置である。この円弧の長さは$\pi L/2$。したがって求める長さは$$\frac{L^2-1}{2}+\frac{\pi L}{2}=\frac{5\pi}{4}+\frac{21\pi^2}{32},\qquad L=1+\frac{3\pi}{4}.$$