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旭川医科大学／2023年度

1旭川医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

指数関数・対数関数三角関数微分法積分法ベクトル平面上の曲線と複素数平面

1問題

旭川医科大学2023年度第1問
k を正の実数とし、原点を O とする座標平面上で媒介変数 t を用いて

x=f(t)=ektcos⁡t,y=g(t)=ektsin⁡t x = f (t) = e ^ {k t} \cos t, \qquad y = g (t) = e ^ {k t} \sin t

と表される曲線 C を考える。曲線 C 上の点 P の座標を (a,b)(a, b) とし、 ka≠bka \neq b を満たすものとする。このとき、次の各問いに答えよ。

問 1 点 P(a, b)\mathrm{P}(a,\,b) における接線 ll の傾きを aa、bb、kk を用いて表せ。

問 2 問1で求めた接線 ℓ\ell 上に点Pと異なる任意の点Q(x,y)をとる。ベクトル OP→\overrightarrow{\mathrm{OP}} とベクトル PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} とのなす角をθ\thetaとするとき、∣cos⁡θ∣|\cos\theta| をkkを用いて表せ。

問 3 tan⁡α=k(0<α<π2)\tan \alpha = k\left(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\right) とする。関数 f(t)f(t) は α≦t≦π2\alpha \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} の範囲で減少関数であることを示せ。

問 4 α\alpha を問 3 で定めた数とし、x1=f(β)(α<β<π2)x_{1}=f(\beta)\left(\alpha<\beta<\dfrac{\pi}{2}\right) とする。 このとき、xx 軸、yy 軸、直線 x=x1x=x_{1}、および曲線 CC の β≦t≦π2\beta\leqq t\leqq\frac{\pi}{2} の部分によって囲まれる図形の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

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  • 問1: kb+aka−b\dfrac{kb+a}{ka-b}。問2: ∣cos⁡θ∣=kk2+1|\cos\theta|=\dfrac{k}{\sqrt{k^{2}+1}}。問3: ff は [α, π2][\alpha,\,\dfrac{\pi}{2}] で狭義単調減少。問4: S=ekπ−e2kβ4k+e2kβsin⁡2β4S=\dfrac{e^{k\pi}-e^{2k\beta}}{4k}+\dfrac{e^{2k\beta}\sin 2\beta}{4}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

曲線を x=f(t)=ektcos⁡t, y=g(t)=ektsin⁡tx=f(t)=e^{kt}\cos t,\ y=g(t)=e^{kt}\sin t とする。点 P=(a,b)P=(a,b) に対応する媒介変数を t0t_0 とおく。

(1) 微分すると
x′=ekt(kcos⁡t−sin⁡t),y′=ekt(ksin⁡t+cos⁡t). x'=e^{kt}(k\cos t-\sin t),\qquad y'=e^{kt}(k\sin t+\cos t).
点 PP では x′=ka−bx'=ka-b, y′=kb+ay'=kb+a。仮定 ka≠bka\ne b より接線の傾きは
dydx∣t=t0=kb+aka−b. \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=t_0} =\frac{kb+a}{ka-b}.

(2) 接線方向ベクトルを v=(ka−b,kb+a)v=(ka-b,kb+a) とおく。ある c≠0c\ne0 に対し PQ→=cv\overrightarrow{PQ}=cv である。また
(a,b)⋅v=k(a2+b2),∣v∣2=(ka−b)2+(kb+a)2=(k2+1)(a2+b2). (a,b)\cdot v=k(a^2+b^2),\qquad |v|^2=(ka-b)^2+(kb+a)^2=(k^2+1)(a^2+b^2).
従って
∣cos⁡θ∣=∣OP→⋅PQ→∣∣OP→∣ ∣PQ→∣=kk2+1. |\cos\theta| =\frac{|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{PQ}|}{|\overrightarrow{OP}|\,|\overrightarrow{PQ}|} =\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}.

(3) tan⁡α=k\tan\alpha=k, 0<α<π/20<\alpha<\pi/2 より
f′(t)=ekt(kcos⁡t−sin⁡t)=ektk2+1sin⁡(α−t). f'(t)=e^{kt}(k\cos t-\sin t) =e^{kt}\sqrt{k^2+1}\sin(\alpha-t).
α≦t≦π/2\alpha\leqq t\leqq\pi/2 では f′(α)=0f'(\alpha)=0、α<t≦π/2\alpha<t\leqq\pi/2 では f′(t)<0f'(t)<0。任意の α≦u<v≦π/2\alpha\leqq u<v\leqq\pi/2 に平均値の定理を適用すると、u<c<vu<c<v を満たす cc について
f(v)−f(u)=f′(c)(v−u)<0 f(v)-f(u)=f'(c)(v-u)<0
となる。したがって ff はこの区間で減少する。

(4) α<β<π/2\alpha<\beta<\pi/2 で x1=f(β)x_1=f(\beta)。曲線部分は x=x1x=x_1 から yy 軸まで進むとき xx が減るので、囲まれた面積は
S=∫0x1y dx=−∫βπ/2g(t)f′(t) dt=∫βπ/2e2kt(sin⁡2t−ksin⁡tcos⁡t) dt. S=\int_0^{x_1}y\,dx =-\int_\beta^{\pi/2}g(t)f'(t)\,dt =\int_\beta^{\pi/2}e^{2kt}(\sin^2t-k\sin t\cos t)\,dt.
被積分関数の原始関数は
F(t)=e2kt4(1k−sin⁡2t), F(t)=\frac{e^{2kt}}4\left(\frac1k-\sin2t\right),
これは微分すると e2kt(sin⁡2t−ksin⁡tcos⁡t)e^{2kt}(\sin^2t-k\sin t\cos t) となる。よって
S=F(π/2)−F(β)=ekπ−e2kβ4k+e2kβsin⁡2β4. S=F(\pi/2)-F(\beta) =\frac{e^{k\pi}-e^{2k\beta}}{4k} +\frac{e^{2k\beta}\sin2\beta}{4}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 媒介変数微分
  • 接線の傾き
  • ベクトル内積で角度を求める
  • 導関数の符号と平均値の定理
  • 媒介変数による面積積分

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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