2京都府立医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

線分の組を辺辺、辺対角線、非交差対角線、交差対角線に分類する。組数を二項係数で数え、確率と期待値を求める。

正 $n$ 角形の辺と対角線は、頂点の2点を結ぶ線分なので、その総数は
$$N={}_{n}\mathrm{C}_{2}$$
である。選び方の総数は ${}_{N}\mathrm{C}_{2}$。辺の数を $n$、対角線の数を $d=N-n=n(n-3)/2$ とする。

2本とも辺なら $k=1$、辺と対角線なら $k=2$、対角線2本が内部で交わらなければ $k=3$、内部で交われば $k=4$ となる。実際、1本の対角線は多角形を2片に分け、交わらない2本目はそのうちの1片をさらに分ける。一方、内部で交わる2本目は最初の対角線の両側でそれぞれ新たに1片ずつ分ける。正多角形は凸なので、交差する対角線の組は、端点となる4頂点を選べばその4頂点の対角線の組としてただ1組定まり、その数は ${}_{n}\mathrm{C}_{4}$ である。

(1) $k=1$ となるのは辺2本の組だけだから
$$p_1=\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{{}_{N}\mathrm{C}_{2}} =\frac{2}{N-1} =\frac{4}{n(n-1)-2} =\frac{4}{(n-2)(n+1)}.$$

(2) $k=4$ となるのは内部で交わる対角線2本の組だけなので
$$p_4=\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{4}}{{}_{N}\mathrm{C}_{2}} =\frac{(n-2)(n-3)}{3\{n(n-1)-2\}} =\frac{n-3}{3(n+1)}.$$
ここで $n(n-1)-2=(n-2)(n+1)$ を用いた。

(3) 辺2本の組は ${}_{n}\mathrm{C}_{2}$、辺と対角線の組は $nd$、対角線2本の組は ${}_{d}\mathrm{C}_{2}$ である。うち ${}_{n}\mathrm{C}_{4}$ 組は $k=4$、残りは $k=3$。よって $k$ の合計を全組数で割ると
$$E_n=\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{2}+2nd+3\cdot{}_{d}\mathrm{C}_{2}+{}_{n}\mathrm{C}_{4}}{{}_{N}\mathrm{C}_{2}}.$$
$d=n(n-3)/2$、$N=n(n-1)/2$ なので、分子を $n^4$ で割った極限は $3/8+1/24=5/12$、分母を $n^4$ で割った極限は $1/8$ である。したがって
$$\lim_{n\to\infty}E_n=\frac{5/12}{1/8}=\frac{10}{3}.$$