3京都大学 2023年 数学 第3問解答・解説

各回のさいころは独立で、各目の確率は$1/6$である。
(1) $Y$が5で割り切れるための必要十分条件は、少なくとも1回5が出ることである。5が一度も出ない確率は$(5/6)^n$なので
$$\boxed{1-\left(\frac56\right)^n}.$$
(2) 15の素因数は3と5である。従って5が少なくとも1回、3または6が少なくとも1回出ればよい。
「5が一度も出ない」を$E$、「3も6も一度も出ない」を$F$とすると
$$P(E)=\left(\frac56\right)^n,\quad P(F)=\left(\frac46\right)^n,\quad P(E\cap F)=\left(\frac36\right)^n.$$
最後の式では許される目が1,2,4の3種類であることを使った。余事象と和事象の公式から
$$\boxed{1-\left(\frac56\right)^n-\left(\frac23\right)^n+\left(\frac12\right)^n}.$$
$n=1$では0、$n=2$では$4/36=1/9$となり、$(5,3),(3,5),(5,6),(6,5)$の4通りとも一致する。