1京都大学 2023年 数学 第1問解答・解説

問1 $1\leqq x\leqq4$ では $x>0$ なので $\log(x^2)=2\log x$。原始関数は
$$\int 2x^{1/2}\log x\,dx =\frac43x^{3/2}\log x-\frac89x^{3/2},$$
（右辺を微分すると $2\sqrt{x}\log x$ となる）。よって
$$\begin{aligned} \int_1^4\sqrt{x}\log(x^2)\,dx &=\left[\frac43x^{3/2}\log x-\frac89x^{3/2}\right]_1^4\\ &=\frac{32}{3}\log4-\frac{56}{9} =\boxed{\frac{64}{3}\log2-\frac{56}{9}}. \end{aligned}$$$${\int }_1^4\sqrt{x}\log (x^2)dx={\left[\frac{4}{3}{x}^{3/2}\log x-\frac{8}{9}{x}^{3/2}\right]}_1^4$$$$=\frac{32}{3}\log 4-\frac{56}{9}=\boxed{\frac{64}{3}\log 2-\frac{56}{9}}.$$

問2 $D(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ とおくと
$$(x-1)D(x)=x^5-1.$$
したがって $D(x)$ で割った余りを考えるとき $x^5\equiv1$ であり、
$$x^{2023}-1=(x^5)^{404}x^3-1\equiv x^3-1\pmod{D(x)}.$$
$x^3-1$ の次数は $D(x)$ の次数より小さいので、求める余りは $\boxed{x^3-1}$。