3京都府立医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

複素共役の基本性質と整数乗の計算を用いる。(3)では条件を差の形に直し、k=0,1から候補を絞った後、必要十分性を全てのkについて確認する。

(1)

$n$ は整数なので $\overline{z^{n}}=\overline{z}^{\,n}$ である。したがって
$$\overline{a_{n}}=\overline{z^{n}+\overline{z}^{\,n}}=\overline{z}^{\,n}+z^{n}=a_{n}.$$
複素数がその共役と等しいことは実数であることと同値だから、すべての $n\geqq 0$ について $a_{n}$ は実数である。

(2)

$z=1+i$ とすると、
$$z^{2}=2i,\qquad z^{3}=-2+2i,\qquad z^{4}=-4.$$
また $\overline{z}^{\,4}=\overline{z^{4}}=-4$ である。よって $k\geqq 0$、$r=0,\,1,\,2,\,3$ に対して
$$a_{4k+r}=z^{4k+r}+\overline{z}^{\,4k+r}=(-4)^{k}\left(z^{r}+\overline{z}^{\,r}\right).$$
ここで $z^{0}+\overline{z}^{\,0}=2$、$z+\overline{z}=2$、$z^{2}+\overline{z}^{\,2}=2i-2i=0$、$z^{3}+\overline{z}^{\,3}=(-2+2i)+(-2-2i)=-4$ だから、
$$a_{4k}=2(-4)^{k},\qquad a_{4k+1}=2(-4)^{k},\qquad a_{4k+2}=0,\qquad a_{4k+3}=-4(-4)^{k}.$$

(3)

$c=1-z^{2}$ とおくと、条件はすべての $k\geqq 0$ について
$$0=a_{6k}-a_{6k+2}=c\,z^{6k}+\overline{c}\,\overline{z}^{\,6k}$$
となることである。$k=0$ を代入すると
$$c+\overline{c}=2-(z^{2}+\overline{z}^{\,2})=0,$$
したがって $z^{2}+\overline{z}^{\,2}=2$ である。ここで $z^{2}=x+ti$（$x,\,t$ は実数）とおけば、$\overline{z}^{\,2}=x-ti$ なので $2x=2$、すなわち $x=1$ である。よって
$$z^{2}=1+ti$$
と書ける。また $k=1$ を代入し、$\overline{c}=-c$ を用いると $c\left(z^{6}-\overline{z}^{\,6}\right)=0$ となる。

まず $c=0$ の場合は $z^{2}=1$、すなわち $(z-1)(z+1)=0$ より $z=\pm 1$ であり、この 2 値は差の式をすべての $k$ で満たす。

次に $c\ne 0$ とする。このとき上式から $z^{6}=\overline{z}^{\,6}$、すなわち $z^{6}$ は実数である。すでに $z^{2}=1+ti$ とおいたので、
$$z^{6}=(1+ti)^{3}=1-3t^{2}+i(3t-t^{3})$$
である。したがって $z^{6}$ が実数であるための条件は $t(3-t^{2})=0$ である。$c=1-z^{2}=-ti$ であり、今は $c\ne 0$ だから $t\ne 0$。よって $t=\sqrt{3}$ または $t=-\sqrt{3}$ となる。
$$\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{2}}\right)^{2}=1+\sqrt{3}\,i,\qquad \left(\dfrac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{2}}\right)^{2}=1-\sqrt{3}\,i.$$
ここで $\alpha=\dfrac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{2}}$、$\beta=\dfrac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{2}}$ とおくと、$\alpha^{2}=1+\sqrt{3}\,i$、$\beta^{2}=1-\sqrt{3}\,i$ である。よって、$t=\sqrt{3}$ のとき $z=\pm\alpha$、$t=-\sqrt{3}$ のとき $z=\pm\beta$ となる。

最後に、列挙した値が条件を満たすことを確かめる。$z=\pm 1$ では $c=0$ なので差の式は成り立つ。残る 4 値では $z^{2}=1+ti$（$t=\pm\sqrt{3}$）であり、$c=-ti$、$z^{6}=-8$ となる。したがって $\overline{c}=-c$、$\overline{z}^{\,6}=z^{6}=-8$ であり、任意の $k\geqq 0$ に対して
$$c\,z^{6k}+\overline{c}\,\overline{z}^{\,6k}=c(-8)^{k}-c(-8)^{k}=0.$$
ゆえに条件を満たす $z$ は
$$z=\pm 1,\quad z=\pm\dfrac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{2}},\quad z=\pm\dfrac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{2}}$$
である。