1京都府立医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)
1つの頂点のまわりで隣り合う2面は1辺を共有する。正三角形どうしが辺を共有すれば、共通辺の長さが両方の1辺の長さなので2面は合同となる。正方形どうしについても同様である。したがって条件(b)より、頂点のまわりでは三角形の面と正方形の面が交互に並ぶ。各頂点には少なくとも3面が集まり、交互に並ぶので、三角形が$k$面、正方形も$k$面である。
凸多面体の頂点のまわりの面角の和は$360^\circ$より小さいから、
$$60^\circ k+90^\circ k=150^\circ k<360^\circ.$$
また面の数は偶数で少なくとも4面だから$k\geqq 2$である。よって整数$k$は$2\leqq k<12/5$を満たし、$k=2$である。したがって、この頂点を共有する面は$2+2=4$面である。

(2)
正三角形の面の数を$T$、正方形の面の数を$S$、頂点の数を$V$、辺の数を$E$とする。条件(b)と同じ理由により、どの辺も三角形1面と正方形1面に共有される。したがって辺を面から数えると
$$3T=E,\qquad 4S=E.$$
(1)より各頂点には4面が集まり、頂点のまわりの辺の数も4本である。頂点と辺の端点の組を数えると$4V=2E$、すなわち$V=E/2$である。凸多面体のオイラーの公式$V-E+(T+S)=2$にこれらを代入して
$$\frac{E}{2}-E+\frac{E}{3}+\frac{E}{4}=2, \qquad \frac{E}{12}=2, \qquad E=24.$$
よって
$$T=\frac{E}{3}=8,\qquad S=\frac{E}{4}=6.$$

(3)
正八面体の6頂点それぞれについて、その頂点から出る4辺の中点を通る平面で切る。各もとの正三角形の面には、その3辺の中点を結ぶ正三角形が残る。各頂点で切り取られてできる断面は、4辺の中点を頂点とする正方形である。得られる面はこの8個の正三角形と6個の正方形であり、各辺は正三角形の面と正方形の面の間にできる。したがって同じ形の面どうしは辺を共有せず、条件(a),(b)を満たす。

(4)
(3)でできる立体の中心を原点$O$とし、頂点を$(\pm a,\pm a,0)$、$(\pm a,0,\pm a)$、$(0,\pm a,\pm a)$と表す。辺の長さは$\sqrt2a$なので、$\sqrt2a=1$、すなわち$a=1/\sqrt2$である。正方形の面は$x=\pm a,\ y=\pm a,\ z=\pm a$、正三角形の面は$\pm x\pm y\pm z=2a$で表される（符号の組は8通り）。原点から三角形面の各平面までの距離は等しい。原点中心でこれらの平面に接する球を考え、その半径を$r$とする。したがって
$$r=\frac{2a}{\sqrt3}=\sqrt{\frac23}.$$
この球は三角形面の半空間内に収まっている。一方、$r>a$なので、球から立体の外に出る部分は6つの正方形面の平面で切られる球冠である。2つの異なる座標について同時に$|x|>a, |y|>a$となる点は原点からの距離が$\sqrt2a>r$となるため球内にない。よって6つの球冠は重ならない。
$x=a$で切られる1つの球冠の高さは$r-a$であり、その体積は、球の高さ$x$での断面積が$\pi(r^2-x^2)$であることから
$$C=\pi\int_a^r(r^2-x^2)\,dx =\frac{\pi}{3}(2r^3-3ar^2+a^3).$$
したがって求める体積は
$$\begin{aligned} \frac{4\pi r^3}{3}-6C &=\pi\left(-\frac{8r^3}{3}+6ar^2-2a^3\right)\\ &=\pi a^3\left(6-\frac{64}{9\sqrt3}\right)\\ &=\pi\left(\frac{3}{\sqrt2}-\frac{32}{9\sqrt6}\right) =\boxed{\frac{\pi(27\sqrt3-32)}{9\sqrt6}}. \end{aligned}$$$$\frac{4\pi r^3}{3}-6C=\pi \left(-\frac{8r^3}{3}+6a{r}^2-2a^3\right)$$$$=\pi a^3\left(6-\frac{64}{9\sqrt{3}}\right)$$$$=\pi \left(\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{32}{9\sqrt{6}}\right)=\boxed{\frac{\pi (27\sqrt{3}-32)}{9\sqrt{6}}}.$$
これは球全体の体積から、互いに重ならない6個の球冠を引いた値である。