4京都府立医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

同焦点条件から二次曲線を式で表し，交点条件から s を求める。陰関数の微分で接線の傾きを比較し，円盤法による定積分で体積を計算した後，s=1 の条件で比を a の有理式に直して極限を求める。

楕円 $C$ の焦点距離の2乗は $a^2-(a^2-1)=1$ だから，焦点は $(\pm1,0)$ である。したがって，点 $(b,0)$ を頂点とする双曲線 $D$ は
$$\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{1-b^2}=1$$
である。ここで $1-b^2>0$ を用いた。

(1) C,D の式からそれぞれ $y^2$ を表すと，交点では
$$(a^2-1)\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)=(1-b^2)\left(\frac{x^2}{b^2}-1\right).$$
これを整理して
$$a^2-b^2=x^2\left(\frac{a^2-1}{a^2}+\frac{1-b^2}{b^2}\right) =x^2\frac{a^2-b^2}{a^2b^2}.$$
$a>1>b>0$ より $a^2-b^2>0$ なので，$x^2=a^2b^2$ である。第1象限の交点では $x>0$ より $x=ab$ となる。また，このとき $y^2=(a^2-1)(1-b^2)>0$ だから第1象限の交点が確かに存在し，$s=ab$ である。

(2)　 C,D の式をそれぞれ x で微分すると，接線の傾きは
$$m_C=-\frac{(a^2-1)x}{a^2y},\qquad m_D=\frac{(1-b^2)x}{b^2y}.$$
点 $P$ では $x^2=a^2b^2$，$y^2=(a^2-1)(1-b^2)$ であるから
$$m_Cm_D=-\frac{(a^2-1)(1-b^2)x^2}{a^2b^2y^2}=-1.$$
$y>0$ なので両接線の傾きは定まり，積が $-1$ であることから2直線は垂直である。

(3)　 x 座標が $x$ の位置での回転断面は半径 $y$ の円盤であり，$C$ の上半分では $y^2=(a^2-1)(1-x^2/a^2)$ である。したがって
$$\begin{aligned} V_K&=\pi\int_0^{ab}(a^2-1)\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\,dx\\ &=\pi(a^2-1)\left[ x-\frac{x^3}{3a^2}\right]_0^{ab}\\ &=\pi a(a^2-1)\left(b-\frac{b^3}{3}\right). \end{aligned}$$$$V_K=\pi {\int }_0^{ab}(a^2-1)\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)dx$$$$=\pi (a^2-1){\left[x-\frac{x^3}{3a^2}\right]}_0^{ab}$$$$=\pi a(a^2-1)\left(b-\frac{b^3}{3}\right).$$

(4)　 $s=1$ より (1) の結果から $ab=1$，すなわち $b=1/a$ である。$a>1$ の範囲で $a\to\infty$ とする。$L$ は双曲線の右枝の頂点 $x=b$ から直線 $x=1$ までの部分なので，断面半径の2乗は $(1-b^2)(x^2/b^2-1)$ である。よって
$$\begin{aligned} V_L&=\pi\int_b^1(1-b^2)\left(\frac{x^2}{b^2}-1\right)\,dx\\ &=\pi(1-b^2)\left[\frac{x^3}{3b^2}-x\right]_b^1\\ &=\pi(1-b^2)\left(\frac{1}{3b^2}-1+\frac{2b}{3}\right)\\ &=\pi\left(1-\frac{1}{a^2}\right)\left(\frac{a^2}{3}-1+\frac{2}{3a}\right). \end{aligned}$$$$V_L=\pi {\int }_b^1(1-b^2)\left(\frac{x^2}{b^2}-1\right)dx$$$$=\pi (1-b^2){\left[\frac{x^3}{3b^2}-x\right]}_b^1$$$$=\pi (1-b^2)\left(\frac{1}{3b^2}-1+\frac{2b}{3}\right)$$$$=\pi \left(1-\frac{1}{a^2}\right)\left(\frac{a^2}{3}-1+\frac{2}{3a}\right).$$
また (3) より
$$V_K=\pi(a^2-1)\left(1-\frac{1}{3a^2}\right).$$
したがって
$$\frac{V_L}{V_K}=\frac{a^2-3+2/a}{3a^2-1} =\frac{1-3/a^2+2/a^3}{3-1/a^2}.$$
ここで $a\to\infty$ とすると，分子は $1$，分母は $3$ に近づくので，求める極限は $\displaystyle\frac13$ である。