6久留米大学 2022年 数学 第6問解答・解説

(1)・ぬ、ね

$f(x)=\frac1{(x-1)^2+1}$ なので、常に $f(x)\leqq1$、等号は $x=1$ のときだけ成立する。
$f'(x)=-\frac{2(x-1)}{\{(x-1)^2+1\}^2}$ は $1$ を境に正から負へ変わるので、$x=1$ で極大値 $1$ をとる。

(2)・の、は

$0\leqq x\leqq1$ で $f(x)>0$ だから、求める面積は
$$S=\int_0^1\frac{dx}{1+(x-1)^2}。$$
$x-1=\tan\theta$ と置換する。$x=0,1$ に対応する区間は $-\frac\pi4\leqq\theta\leqq0$ であり、
$$dx=\frac{d\theta}{\cos^2\theta},\qquad 1+(x-1)^2=\frac1{\cos^2\theta}。$$
従って
$$S=\int_{-\pi/4}^{0}1\,d\theta=\frac\pi4。$$
よって、の＝$1$、は＝$4$。

(3)・ひ、ふ、へ

今回は円筒殻公式を用いず、$y$ 軸に垂直な断面を積分する。
$0\leqq x\leqq1$ で $f$ は増加し、$f(0)=\frac12,\ f(1)=1$。
$0\leqq y\leqq\frac12$ では、断面は半径 $1$ の円である。
$\frac12<y\leqq1$ では、領域の $x$ の範囲は
$$1-\sqrt{\frac1y-1}\leqq x\leqq1。$$
従って断面は外半径 $1$、内半径 $1-\sqrt{\frac1y-1}$ の円環であり、
$$\begin{aligned} \frac V\pi &=\frac12+\int_{1/2}^1\left\{1-\left(1-\sqrt{\frac1y-1}\right)^2\right\}\,dy\\ &=\frac12+2J-\int_{1/2}^1\left(\frac1y-1\right)\,dy\\ &=1-\log2+2J, \end{aligned}$$$$\frac{V}{\pi }=\frac{1}{2}+{\int }_{1/2}^1\left\{1-{\left(1-\sqrt{\frac{1}{y}-1}\right)}^2\right\}dy$$$$=\frac{1}{2}+2J-{\int }_{1/2}^1\left(\frac{1}{y}-1\right)dy$$$$=1-\log 2+2J,$$
ただし $J=\int_{1/2}^1\sqrt{\frac1y-1}\,dy$。
ここで $y=\cos^2\theta$ と置換する。
$0\leqq\theta\leqq\frac\pi4$ で $\sqrt{\frac1y-1}=\tan\theta$ となるから、向きも含めて
$$\begin{aligned} J&=2\int_0^{\pi/4}\sin^2\theta\,d\theta\\ &=\left[\theta-\frac12\sin2\theta\right]_0^{\pi/4} =\frac\pi4-\frac12。 \end{aligned}$$$$J=2{\int }_0^{\pi /4}{\sin }^2\theta d\theta$$$$={\left[\theta -\frac{1}{2}\sin 2\theta \right]}_0^{\pi /4}=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}。$$
したがって
$$V=\left(\frac\pi2-\log2\right)\pi。$$
よって、ひ＝$1$、ふ＝$2$、へ＝$2$。
原稿の前提欄に残す円筒殻使用の記録は旧解法の履歴であり、今回の導出は上記の円盤・円環法で完結している。