3久留米大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)・タ

$x\geqq2-\sqrt3>0$ なので、$x+\frac1x\geqq2$。等号は $x=1$ で成立し、指定範囲内である。
$x\geqq1$ の部分だけでも $t$ は $2$ から限りなく大きい値まですべて動くので、値域は $t\geqq2$。

(2)・チ、ツ、テ

$t=x+\frac1x$ は $x^2-tx+1=0$ と同値である。
$t=2$ では重根 $x=1$ が一個。
$t>2$ では正の二根 $x_-<1<x_+$ があり、$x_-x_+=1$。
$x_+$ は常に範囲内である。小根 $x_-$ は $t$ が増加すると減少し、$x_-=2-\sqrt3$ に対応する $t$ は $(2-\sqrt3)+\frac1{2-\sqrt3}=4$。
したがって $2<t\leqq4$ では二根とも範囲内、$t>4$ では大根のみ一個。

(3)・全空欄

$x>0$ なので方程式を $x^2$ で割り、$t=x+\frac1x$ を用いると、$(t^2-2)-at+2a+7=0$、したがって $t^2-at+2a+5=0$。
$t=2$ では左辺は $9$ で $0$ にならない。
よって $t>2$ として、
$$a=\frac{t^2+5}{t-2}=t+2+\frac9{t-2}。$$
$u=t-2>0$ とおくと、$a=u+4+\frac9u\geqq10$。等号は $u=3,\ t=5$。
この関数は $2<t<5$ で減少し、$t>5$ で増加する。
$a<10$ では $t$ の解は零個。$a=10$ では $t=5$ の一個で、この $t>4$ に対応する $x$ は一個。
$a>10$ では $2<t_-<5<t_+$ の二解。$t_+>5$ には常に $x$ が一個対応する。
$t_-=4$ となるのは $a=\frac{4^2+5}{4-2}=\frac{21}{2}$。
$10<a<\frac{21}{2}$ なら $4<t_-<5$ で、小さい側の $t$ にも $x$ が一個、合計二個。
$a\geqq\frac{21}{2}$ なら $2<t_-\leqq4$ で、小さい側の $t$ には $x$ が二個、合計三個。
したがって、$a<10$ で零個、$a=10$ で一個、$10<a<\frac{21}{2}$ で二個、$\frac{21}{2}\leqq a$ で三個。