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久留米大学／2022年度／後期

5久留米大学 2022年 数学 第5問解答・解説

1問題

久留米大学2022年度第5問
nn を2以上の自然数とすると、∑k=1n−1n!(n−k)! k!=ちn−つ\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}=\boxed{ち}^{n}-\boxed{つ} であるので、lim⁡n→∞1rn∑k=1n−1n!(n−k)! k!\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{r^{n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{n!}{(n-k)!\,k!} が収束するような実数 rr の値の範囲は、r<てとr<\boxed{てと}、な≦r\boxed{な}\leqq r。また、r=なr=\boxed{な} のときの lim⁡n→∞1rn∑k=1n−1n!(n−k)! k!\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{r^{n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{n!}{(n-k)!\,k!} の極限値は、
lim⁡n→∞1rn∑k=1n−1n!(n−k)! k!=に\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{r^{n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}=\boxed{に}
である。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • ち・つ
    ち＝22、つ＝22。
  • てと・な
    てと＝−2-2、な＝22（r<−2r<-2 または 2≦r2\leqq r）。
  • に
    11。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

ち・つ

n!(n−k)!k!=nCk\frac{n!}{(n-k)!k!}={}_{n}\mathrm C_k。
二項定理より ∑k=0nnCk=(1+1)n=2n\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm C_k=(1+1)^n=2^n。
k=0,nk=0,n の各 11 を引けば、∑k=1n−1nCk=2n−2\sum_{k=1}^{n-1}{}_{n}\mathrm C_k=2^n-2。

てと・な

r=0r=0 では分母が 00 で定義されない。
r≠0r\ne0 のとき、対象の数列は
2n−2rn=(2r)n−2rn。 \frac{2^n-2}{r^n}=\left(\frac2r\right)^n-\frac2{r^n}。
∣r∣>2|r|>2 なら両項は 00 に収束する。r=2r=2 なら 1−22n→11-\frac2{2^n}\to1。
r=−2r=-2 なら偶数番目は 11 に、奇数番目は −1-1 に近づくので収束しない。
0<∣r∣<20<|r|<2 では絶対値
2n−2∣r∣n=(2∣r∣)n(1−22n)⟶∞ \frac{2^n-2}{|r|^n}=\left(\frac2{|r|}\right)^n\left(1-\frac2{2^n}\right)\longrightarrow\infty
となり、有限値には収束しない。
したがって収束範囲は r<−2r<-2 または r≧2r\geqq2。

に

r=2r=2 では数列は 1−21−n1-2^{1-n} なので、極限は 11。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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