2久留米大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)・サシ、ス

三数は、解と係数の関係により $u^3-3u-t=0$ の根である。
$F(u)=u^3-3u$ とおくと、$F'(u)=3(u^2-1)$ で、極大値 $F(-1)=2$、極小値 $F(1)=-2$。
三つの根がすべて実数である条件は $-2\leqq t\leqq2$。
一根が負、他の二根が非負なら積 $t\leqq0$ なので、必要条件は $-2\leqq t\leqq0$。
逆に $-2\leqq t<0$ では、負の区間 $u<-1$ に一根があり、$[0,1]$ および $[1,\sqrt3]$ に非負の二根がある（$t=-2$ では $1$ が重根）。
$t=0$ では根は $-\sqrt3,0,\sqrt3$ で、ちょうど一つが負、他の二つは負でない。
よって全範囲は $-2\leqq t\leqq0$。

(2)・セ、ソ

$-2\leqq t\leqq0$ のとき、非負根 $x_1$ は $[0,1]$、$x_2$ は $[1,\sqrt3]$ にある。
$\int_{-2}^0(x_2-x_1)\,dt$ は、横軸を $u$、縦軸を $t$ として、曲線 $t=u^3-3u$ と直線 $t=0$ とで囲まれる $0\leqq u\leqq\sqrt3$ の面積を横断面で積分したものである。
同じ面積を縦断面で積分すると、
$$\int_0^{\sqrt3}\{0-(u^3-3u)\}\,du =\left[-\frac{u^4}{4}+\frac{3u^2}{2}\right]_0^{\sqrt3} =-\frac94+\frac92=\frac94。$$
したがってセ＝$9$、ソ＝$4$。