4久留米大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)・あ、い、うえ、お

三角形 $OPA$ は $P$ を直角とする直角三角形で、$OA=3$。
$OP=3\cos\theta,\ AP=3\sin\theta$。
$\theta=\frac\pi3$ では $OP=\frac32,\ AP=\frac{3\sqrt3}{2}$ であり、四角形 $OPAQ$ の面積は $T=OP\cdot AP=\frac{9\sqrt3}{4}$。
$O$ を中心とする扇形 $OPQ$ の中心角は $\frac{2\pi}{3}$、$A$ を中心とする扇形 $APQ$ の中心角は $\frac\pi3$。
二円の共通部分の面積は、両扇形の面積の和から四角形の面積 $T$ を引いたものである。
両扇形の面積の和は
$$\frac12\left(\frac32\right)^2\frac{2\pi}{3} +\frac12\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2\frac\pi3 =\frac{3\pi}{4}+\frac{9\pi}{8}=\frac{15\pi}{8}。$$
よって共通部分を四角形から除いた面積は、$S=T-\left(\frac{15\pi}{8}-T\right)=2T-\frac{15\pi}{8}=\frac{9\sqrt3}{2}-\frac{15\pi}{8}$。

(2)・か、き、く、け、こ

$0<\theta<\frac\pi2$ で、$AP=3\sin\theta$。
$\angle PAQ=2\angle PAO=\pi-2\theta$ なので、扇形 $APQ$ の面積は
$$\frac12AP^2(\pi-2\theta)=\frac92(\pi-2\theta)\sin^2\theta。$$
三角形 $APQ$ の面積は $\frac12AP^2\sin(\pi-2\theta)=\frac92\sin^2\theta\sin2\theta$。

(2)・さ、し、す、せ、そ、た

四角形の面積は $T=OP\cdot AP=\frac92\sin2\theta$。
$O$ 中心の扇形 $OPQ$ は面積 $\frac12(3\cos\theta)^2\cdot2\theta=9\theta\cos^2\theta$。
$A$ 中心の扇形は、前項のとおり $\frac92(\pi-2\theta)\sin^2\theta$。
共通部分は二扇形の和から $T$ を引いたものなので、$S$ は $2T$ から二扇形の和を引けばよい。
$$\begin{aligned} S&=9\sin2\theta-9\theta\cos^2\theta-\frac92(\pi-2\theta)\sin^2\theta\\ &=9\sin2\theta-9\theta\cos2\theta-\frac{9\pi}{2}\sin^2\theta\\ &=9\sin2\theta-\left(9\theta-\frac{9\pi}{4}\right)\cos2\theta-\frac{9\pi}{4}。 \end{aligned}$$$$S=9\sin 2\theta -9\theta {\cos }^2\theta -\frac{9}{2}(\pi -2\theta ){\sin }^2\theta$$$$=9\sin 2\theta -9\theta \cos 2\theta -\frac{9\pi }{2}{\sin }^2\theta$$$$=9\sin 2\theta -\left(9\theta -\frac{9\pi }{4}\right)\cos 2\theta -\frac{9\pi }{4}。$$