1和歌山県立医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

分母を正と確認し、変数をずらして分子と分母の大小から有限候補に絞る。続いて三次式を二次式の分母で整理し、整数解条件を(1)の整数値条件へ帰着する。

(1) 分母は $x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0$ である。$y=x+1$ とおくと $m=\dfrac{4y+2}{y^2+2}$ となる。$y\leqq -3$ なら $y^2+2-|4y+2|=(y+2)^2>0$、$y\geqq 5$ なら $y^2+2-|4y+2|=y(y-4)>0$ である。したがってこの範囲では $-1<m<1$ となるが、整数 $y$ について $4y+2\neq 0$ なので $m=0$ にもならず、整数 $m$ は得られない。残る $y=-2,-1,0,1,2,3,4$ を調べると、$m$ は順に $-1,-\dfrac23,1,2,\dfrac53,\dfrac{14}{11},1$ である。よって $y=-2,0,1,4$、すなわち $x=-3,-1,0,3$ であり、それぞれ $m=-1,1,2,1$ である。
(2) $D=x^2+2x+3$ とおくと、$x^3+3x^2+x-3=(x+1)D-(4x+6)$ である。したがって方程式は $D(x+1-k)=4x+6$ と同値である。$D>0$ より、整数 $x,k$ に対しこれは $m=(4x+6)/D=x+1-k$ が整数であることと同値である。(1) の候補を代入すると、$x=-3,-1,0,3$ に対応する $k=x+1-m$ はそれぞれ $-1,-1,-1,3$ となる。各値は実際にそれぞれ整数解（例えば $k=-1$ では $x=-3$、$k=3$ では $x=3$）を持つので、求める $k$ は $-1,3$ である。