3熊本大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)

$t=\cos x$ とおくと $f(x)=k-t^{2}-t$。$-1\leqq t\leqq1$ で $k=t^{2}+t$。$k=-\dfrac{1}{4}$ で重根 $t=-\dfrac{1}{2}$。$k>-\dfrac{1}{4}$ では2根 $u=\dfrac{-1+\sqrt{1+4k}}{2}$、$v=\dfrac{-1-\sqrt{1+4k}}{2}$ をもつ。
指定範囲 $0\leqq x\leqq\dfrac{3\pi}{2}$ では $-1<t\leqq0$ は2回（$t=0$ は $x=\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3\pi}{2}$）、$t=-1$ は1回、$0<t\leqq1$ は1回現れる。
従って $k=-\dfrac{1}{4}$ は2回、$-\dfrac{1}{4}<k<0$ は両負根が各2回で4回、$k=0$ は $t=0$ の2回と $t=-1$ の1回で3回。$0<k\leqq2$ では $0<u\leqq1$ だけ有効で1回、残りは0回となる。

(2)

共有点2個以上の範囲は $-\dfrac{1}{4}\leqq k\leqq0$。$-\dfrac{1}{4}<k\leqq0$ では、共有点の小さい方から2つの $x$ 座標を $p_{1}$、$p_{2}$ とする。$0\leqq x\leqq\pi$ で $\cos x=u$ を満たす $x$ が $p_{1}$、$\cos x=v$ を満たす $x$ が $p_{2}$ であり、$0<p_{1}<p_{2}\leqq\pi$ となる。
$t=\cos x$ と置換すると $g(k)=\displaystyle\int_{v}^{u}(k-t^{2}-t)\,dt$。
$k-t^{2}-t=(u-t)(t-v)$ だから積分は $\dfrac{(u-v)^{3}}{6}=\dfrac{(1+4k)^{\frac{3}{2}}}{6}$。
$k=-\dfrac{1}{4}$ では $p_{1}=\dfrac{2\pi}{3}$、$p_{2}=\dfrac{4\pi}{3}$ と異なるが、両端の $\cos$ の値はどちらも $-\dfrac{1}{2}$ で、$t$ の積分区間が0になるので $g=0$。この端点値は式の延長とも一致する。式は $k$ に関して増加するから最大 $\dfrac{1}{6}$、最小0となる。