熊本大学 2023年数学第2問解答・解説

1問題

熊本大学2023年度第2問

原点を

O

とする座標平面上に3点

A,B,C

がある。

\overrightarrow{OA}=\vec{u},\ \overrightarrow{AB}=\vec{v},\ \overrightarrow{BC}=\vec{w}

とおく。

\vec{e}_{1}=(1,0),\ \vec{e}_{2}=(0,1)

とするとき、3つのベクトル

\vec{u},\vec{v},\vec{w}

は

\begin{cases} \vec{u}=-\vec{e}_{1},\\ \vec{v}\cdot\vec{e}_{1}=4,\quad |\vec{v}|=2\sqrt{5},\quad \vec{v}\cdot\vec{e}_{2}<0,\\ \vec{w}\cdot\vec{e}_{1}=8,\quad |\vec{w}|=8\sqrt{2},\quad \vec{w}\cdot\vec{e}_{2}>0 \end{cases}

を満たすとする。ただし、

|\vec{x}|

はベクトル

\vec{x}

の大きさを表し、

\vec{x}\cdot\vec{y}

は2つのベクトル

\vec{x}

と

\vec{y}

の内積を表す。以下の問いに答えよ。

(問1) 3点

A,B,C

の座標をそれぞれ求めよ。

(問2) 3点

A,B,C

を通る円の方程式を求めよ。

(問3) 3点

A,B,C

を通る円の中心を

P

とするとき、

\triangle ABC

の面積と

\triangle ABP

の面積の比を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\text{(問1) }\quad A=(-1,0), B=(3,-2), C=(11,6)\quad \text{。 (問2) 円 }\quad x^2+y^2-8x-10y-9=0\quad \text{（中心 }\quad (4,5)\quad \text{、半径 }\quad 5\sqrt2\quad \text{）。 (問3) 面積比 }\quad 8:5\quad \text{。}$

解答を見る途中式つきの解答

\begin{aligned} \text{(問1)}\quad & \vec u=-\vec e_1=(-1,0),\quad A=(-1,0).\\ & \vec v=(4,b),\quad b<0,\quad 16+b^2=20\text{したがって} b=-2,\\ & B=A+\vec v=(3,-2).\\ & \vec w=(8,c),\quad c>0,\quad64+c^2=128\text{したがって} c=8,\\ & C=B+\vec w=(11,6).\\[2pt] \text{(問2)}\quad & x^2+y^2+lx+my+n=0\ \text{に3点を代入すると}\\ & 1-l+n=0,\quad 13+3l-2m+n=0,\quad157+11l+6m+n=0.\\ & n=l-1,\quad2l-m=-6,\quad2l+m=-26,\\ & l=-8,\quad m=-10,\quad n=-9.\\ & x^2+y^2-8x-10y-9=0,\\ & (x-4)^2+(y-5)^2=50;\quad P=(4,5),\quad r=5\sqrt2.\\[2pt] \text{(問3)}\quad & \overrightarrow{AB}=(4,-2),\quad\overrightarrow{AC}=(12,6),\quad\overrightarrow{AP}=(5,5).\\ & [\triangle ABC]=\frac12|4\cdot6-(-2)\cdot12|=24,\\ & [\triangle ABP]=\frac12|4\cdot5-(-2)\cdot5|=15,\\ & [\triangle ABC]:[\triangle ABP]=24:15=8:5. \end{aligned}

(問 1) u = - e_{1} = (- 1, 0), A = (- 1, 0) . v = (4, b), b < 0, 16 + b^{2} = 20 したがって b = - 2, B = A + v = (3, - 2) . w = (8, c), c > 0, 64 + c^{2} = 128 したがって c = 8, C = B + w = (11, 6) . (問 2) x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0 に 3 点を代入すると 1 - l + n = 0, 13 + 3 l - 2 m + n = 0, 157 + 11 l + 6 m + n = 0. n = l - 1, 2 l - m = - 6, 2 l + m = - 26, l = - 8, m = - 10, n = - 9. x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y - 9 = 0, (x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 50; P = (4, 5), r = 52 . (問 3) A B = (4, - 2), A C = (12, 6), A P = (5, 5) . [△ A B C] = \frac{1}{2} ∣4 \cdot 6 - (- 2) \cdot 12∣ = 24, [△ A B P] = \frac{1}{2} ∣4 \cdot 5 - (- 2) \cdot 5∣ = 15, [△ A B C] : [△ A B P] = 24 : 15 = 8 : 5.

ベクトルの第2成分は内積の符号条件で符号が決まり、長さ条件から

B=(3,-2),C=(11,6)

。円の一般形へ3点を代入して

l=-8,m=-10,n=-9

を得る。平方完成で中心

P=(4,5)

、半径

5\sqrt2

。面積は座標による三角形の面積公式から

[ABC]=24

、

[ABP]=15

となるため比は

8:5

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。