4熊本大学 2023年 数学 第4問解答・解説

問1 2円の交点を $P$、中心を $O_1,O_2$ とする。接線と半径は直交するので、交点 $P$ で2円の接線が垂直であることは $O_1P\perp O_2P$ と同値である。従って直角三角形 $O_1PO_2$ に三平方の定理を用いれば $d^2=r_1^2+r_2^2$。逆にこの関係が成り立つとき
$$d^2-(r_1-r_2)^2=2r_1r_2>0,\qquad (r_1+r_2)^2-d^2=2r_1r_2>0,$$
ゆえに $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ で2円は2点で交わる。三平方の定理の逆により、各交点で半径は垂直となる。したがって必要十分条件は $d^2=r_1^2+r_2^2$。

問2 求める円の中心を $X=(x,y)$、半径を $R>0$ とする。問1より
$$x^2+y^2-R^2=r_1^2,\qquad (x-p)^2+y^2-R^2=r_2^2.$$
差をとると
$$x=\frac{p^2+r_1^2-r_2^2}{2p}=:c.$$
ここで
$$c-r_1=\frac{(p-r_1-r_2)(p-r_1+r_2)}{2p}>0$$
だから、任意の実数 $y$ について $R=\sqrt{c^2+y^2-r_1^2}>0$ と定められる。この半径は両方の直交条件を満たす。よって中心の軌跡は
$$x=\frac{p^2+r_1^2-r_2^2}{2p}.$$

問3 3円の中心と半径を $A_i=(a_i,b_i)$、$r_i$（$i=1,2,3$）とする。求める円の中心 $X=(x,y)$、半径 $R$ は
$$|X-A_i|^2-r_i^2=R^2\qquad(i=1,2,3)$$
を満たす。$S_i=a_i^2+b_i^2-r_i^2$ とおき、1本目を2本目・3本目から引くと
$$2(a_2-a_1)x+2(b_2-b_1)y=S_2-S_1,\quad 2(a_3-a_1)x+2(b_3-b_1)y=S_3-S_1.$$
第1式は、$|X-A_2|^2-r_2^2=|X-A_1|^2-r_1^2$ を満たす点 $X$ の軌跡であり、$A_1A_2$ に垂直な直線である。同様に第2式の軌跡は $A_1A_3$ に垂直な直線である。3中心は一直線上にないから、線分 $A_1A_2$ と $A_1A_3$ は平行でなく、この2直線も平行でない。したがって2直線はただ1点 $X$ で交わり、求める中心は一意に定まる。そこでは $q=|X-A_i|^2-r_i^2$ は $i$ によらず一定である。もし $q\leqq0$ なら $|X-A_i|\leqq r_i$ となり、三角不等式から任意の $i\ne j$ について
$$|A_i-A_j|\leqq|A_i-X|+|X-A_j|\leqq r_i+r_j,$$
これは3円が互いに外部にあることに反する。よって $q>0$ であり、$R=\sqrt q$ とすれば正の半径の円が実際に存在する。中心は上の連立方程式で一意、半径も $R=\sqrt q$ に一意に定まるため、そのような円はただ1つである。