4高知大学 2026年 数学 第4問解答・解説

半角を $\beta$=$\frac{\angle BAC}{2}$ とおくと 0<$\beta$<$\frac\pi2$,　 a=$\sin$$\beta$ であり、0<a<1 である。
$$\frac{BC}{2}=h\tan\beta,\qquad AB=h\sec\beta,$$
したがって三角形の面積は $h^2\tan\beta$、半周長は $h\tan\beta+h\sec\beta$ である。

(1) 内接円の半径を面積÷半周長で求めると
$$r_1=\frac{h^2\tan\beta}{h(\tan\beta+\sec\beta)} =\frac{h\sin\beta}{1+\sin\beta} =\boxed{\frac{ha}{1+a}}.$$

(2) 辺 $AB,AC$ に接し、角の内部にある円の中心は角の二等分線上にある。半径 $r$ の円の中心と頂点 $A$ の距離は $r/a$ である。したがって半径 $r,s$ の2円が外接するとき、その中心間距離から
$$\frac{|r-s|}{a}=r+s.$$
半径の大きい方を $R$、小さい方を $r$ とすれば
$$\frac rR=q:=\frac{1-a}{1+a},\qquad 0<q<1.$$

まず $C_2$ はこのうち小さい円である。大きい候補の半径は $r_1/q$ である。角の半角を $\beta$ とし、$C_1$ の中心を $I$、$AB$ との接点を $T$ とする。角の二等分線から $AI=r_1/a=h/(1+a)$ なので
$$\frac{AT}{AB} =\frac{AI\cos\beta}{h\sec\beta} =\frac{\cos^2\beta}{1+a}=1-a.$$
接点までの距離は半径に比例するから、大きい候補の接点は $AB,AC$ の長さの
$$\frac{1-a}{q}=1+a>1$$
倍の位置にあり、辺の外に出る。よって辺上に接するのは小さい円である。

以後 $C_{k-1}$ に外接する円の半径候補は $q r_{k-1}$ と $q^{-1}r_{k-1}$。帰納的に $r_{k-1}=q^{k-2}r_1$ なので、大きい候補の半径は $q^{k-3}r_1=r_{k-2}$ となり、条件 $C_k\ne C_{k-2}$ により除かれる。したがって毎回小さい方を選び、
$$r_k=q^{k-1}r_1 =\boxed{\frac{ha(1-a)^{k-1}}{(1+a)^k}}.$$

(3) 円の面積は半径の二乗に比例するから
$$S_n=\pi r_1^2\sum_{j=0}^{n-1}q^{2j} =\pi r_1^2\frac{1-q^{2n}}{1-q^2}.$$
$0<q<1$ かつ
$$1-q^2=1-\left(\frac{1-a}{1+a}\right)^2=\frac{4a}{(1+a)^2}$$
なので
$$\lim_{n\to\infty}S_n =\frac{\pi r_1^2}{1-q^2} =\boxed{\frac{\pi ah^2}{4}}.$$

(4) 三角形の面積は
$$[\triangle ABC]=h^2\tan\beta=\frac{h^2a}{\sqrt{1-a^2}}.$$
これの半分が極限値に等しい条件は
$$\frac{\pi ah^2}{4}=\frac{h^2a}{2\sqrt{1-a^2}}.$$
$h>0,\ a>0$ より約して $\sqrt{1-a^2}=2/\pi$。範囲 $0<a<1$ から
$$\boxed{a=\sqrt{1-\frac4{\pi^2}}=\frac{\sqrt{\pi^2-4}}{\pi}}.$$