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近畿大学／2025年度／後期

3近畿大学 2025年 数学 第3問解答・解説

微分・積分の考えいろいろな式

難易度勝負 レベル 5/10 目安 20分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

近畿大学2025年度第3問
3次関数 f(x)=x3+3x2+(m+3)xf(x)=x^{3}+3x^{2}+(m+3)x が極値をもつとき、次の問いに答えよ。

(1) 定数 mm の値の範囲を求めよ。

(2) y=f(x)y=f(x) の傾きが mm である接線を l1l_{1} とする。l1l_{1} の方程式、およびその接点Aの座標を mm を用いて表せ。

(3) 点Aにおいて l1l_{1} と直交する直線を l2l_{2} とする。y=f(x)y=f(x) と l2l_{2} との交点のうち xx 座標の最も小さい点の xx 座標を α\alpha とするとき、α\alpha の最大値とそのときの mm の値を求めよ。

出典：近畿大学 2025年度 後期 数学 第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    m<0m<0
  • (2)
    l1: y=mx−1l_{1}:\ y=mx-1、A(−1, −m−1)\mathrm{A}(-1,\,-m-1)
  • (3)
    m=−1m=-1 のとき最大値 α=−1−2\alpha=-1-\sqrt{2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

f(x)−(mx−1)=(x+1)3f(x)-(mx-1)=(x+1)^{3} と因数分解できるのがかぎ。l2l_{2} との交点の方程式も x+1x+1 でくくれて、(x+1)2=−(m+1m)(x+1)^{2}=-\left(m+\dfrac{1}{m}\right)。相加・相乗平均で最小化する。

解答

(1) f′(x)=3x2+6x+m+3f'(x)=3x^{2}+6x+m+3 が異なる2つの実数解をもつ条件で、36−12(m+3)>036-12(m+3)>0、m<0m<0。

(2) f′(x)=m  ⟺  3(x+1)2=0  ⟺  x=−1f'(x)=m\iff3(x+1)^{2}=0\iff x=-1。f(−1)=−1+3−(m+3)=−m−1f(-1)=-1+3-(m+3)=-m-1 なので A(−1, −m−1)\mathrm{A}(-1,\,-m-1)、l1: y=m(x+1)−m−1=mx−1l_{1}:\ y=m(x+1)-m-1=mx-1。

(3) f(x)−(mx−1)=x3+3x2+3x+1=(x+1)3f(x)-(mx-1)=x^{3}+3x^{2}+3x+1=(x+1)^{3}。l2: y=−1m(x+1)−m−1l_{2}:\ y=-\dfrac{1}{m}(x+1)-m-1 で
f(x)−l2(x)=(x+1)3+m(x+1)+x+1m=(x+1){(x+1)2+m+1m}. f(x)-l_{2}(x)=(x+1)^{3}+m(x+1)+\dfrac{x+1}{m}=(x+1)\left\{(x+1)^{2}+m+\dfrac{1}{m}\right\}.
m<0m<0 では −(m+1m)=∣m∣+1∣m∣≧2>0-\left(m+\dfrac{1}{m}\right)=|m|+\dfrac{1}{|m|}\geqq2>0 なので、交点の xx 座標は −1-1、−1±∣m∣+1∣m∣-1\pm\sqrt{|m|+\dfrac{1}{|m|}}。最も小さいのは α=−1−∣m∣+1∣m∣\alpha=-1-\sqrt{|m|+\dfrac{1}{|m|}}。これが最大になるのは ∣m∣+1∣m∣|m|+\dfrac{1}{|m|} が最小の2のとき、すなわち m=−1m=-1 で、最大値は −1−2-1-\sqrt{2}。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 接線と曲線の差の因数分解
  • 相加平均・相乗平均

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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