近畿大学 2025年数学第2問解答・解説

1問題

近畿大学2025年度第2問

半径4の円に内接する

\triangle\mathrm{ABC}

が

\sin A:\sin B:\sin C=6:5:4

を満たしている。このとき、

\cos A=\boxed{\text{ア}}

であり、

\mathrm{BC}=\boxed{\text{イ}}

である。また、

\triangle\mathrm{ABC}

の面積は

\boxed{\text{ウ}}

であり、

\triangle\mathrm{ABC}

の内接円の半径は

\boxed{\text{エ}}

である。

\angle\mathrm{A}

の二等分線と辺BCとの交点をDとすると、

\triangle\mathrm{ABD}

の面積は、

\boxed{\text{オ}}

であり、

\mathrm{AD}=\boxed{\text{カ}}

である。

出典：近畿大学 2025年度後期数学第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ア・イ
$\cos A=\dfrac{1}{8}$ 、 $\mathrm{BC}=3\sqrt{7}$
ウ・エ
面積 $\dfrac{105\sqrt{7}}{16}$ 、内接円の半径 $\dfrac{7}{4}$
オ・カ
$\triangle\mathrm{ABD}=\dfrac{35\sqrt{7}}{12}$ 、 $\mathrm{AD}=\dfrac{5\sqrt{7}}{3}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

正弦定理より

a:b:c=6:5:4

。余弦定理で

\cos A

、正弦定理

a=2R\sin A

で実際の長さが決まる。角の二等分線は

\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=c:b

。

解答

正弦定理より

a:b:c=6:5:4

。余弦定理で

\cos A=\dfrac{25+16-36}{2\cdot5\cdot4}=\dfrac{1}{8}

、

\sin A=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}

。

\mathrm{BC}=a=2\cdot4\sin A=3\sqrt{7}

。

このとき

b=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}

、

c=2\sqrt{7}

。面積は

S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}\cdot35\cdot\dfrac{3\sqrt{7}}{8}=\dfrac{105\sqrt{7}}{16}

。内接円の半径は

r=\dfrac{2S}{a+b+c}=\dfrac{105\sqrt{7}/8}{15\sqrt{7}/2}=\dfrac{7}{4}

。

\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=c:b=4:5

より

\triangle\mathrm{ABD}=\dfrac{4}{9}S=\dfrac{35\sqrt{7}}{12}

。

\sin\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos A}{2}}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}

なので、

\triangle\mathrm{ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot\mathrm{AD}\cdot\sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{7}{4}\mathrm{AD}

。よって

\mathrm{AD}=\dfrac{5\sqrt{7}}{3}

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

正弦定理・余弦定理
角の二等分線の性質

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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