近畿大学 2025年数学第1問解答・解説

1問題

近畿大学2025年度第1問

3以上の自然数

n

に対して、

x

の多項式

(x+1)(x+2)(x+3)\cdots(x+n)

の展開を考える。次の問いに答えよ。

(1)

x^{n}

の係数を求めよ。

(2) 定数項を求めよ。

(3)

x^{n-1}

の係数を求めよ。

(4)

x^{n-2}

の係数を求めよ。

(5)

x^{n-3}

の係数を求めよ。

出典：近畿大学 2025年度後期数学第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$1$
(2)
$n!$
(3)
$\dfrac{n(n+1)}{2}$
(4)
$\dfrac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}$
(5)
$\dfrac{(n-2)(n-1)n^{2}(n+1)^{2}}{48}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

x^{n-k}

の係数は、

1,\,2,\,\cdots,\,n

から異なる

k

個を選んだ積の和。

p_{1}=\sum k

、

p_{2}=\sum k^{2}

、

p_{3}=\sum k^{3}

を使って、2個の積の和

\dfrac{p_{1}^{2}-p_{2}}{2}

、3個の積の和

\dfrac{p_{1}^{3}-3p_{1}p_{2}+2p_{3}}{6}

と表せる。

解答

x^{n-k}

の係数は、

1,\,2,\,\cdots,\,n

から異なる

k

個を選んだ積の和である。

p_{1}=\dfrac{n(n+1)}{2}

、

p_{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

、

p_{3}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}

とおく。

(1)

1

。　(2)

1\cdot2\cdots n=n!

。　(3)

p_{1}=\dfrac{n(n+1)}{2}

。

(4)

p_{1}^{2}=p_{2}+2\times(\text{2個の積の和})

より

\dfrac{p_{1}^{2}-p_{2}}{2}=\dfrac{n(n+1)\{3n(n+1)-2(2n+1)\}}{24}=\dfrac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}.

(5)

p_{1}^{3}=p_{3}+3\sum_{i\neq j}i^{2}j+6e_{3}

、

p_{1}p_{2}=p_{3}+\sum_{i\neq j}i^{2}j

より

e_{3}=\dfrac{p_{1}^{3}-3p_{1}p_{2}+2p_{3}}{6}

。代入して

e_{3}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{6}\left\{\dfrac{n(n+1)}{8}-\dfrac{2n+1}{4}+\dfrac{1}{2}\right\}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}(n^{2}-3n+2)}{48}=\dfrac{(n-2)(n-1)n^{2}(n+1)^{2}}{48}.

（

n=3

で

6

、

n=4

で

50

となり、直接の計算と合う。）

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

展開の係数と基本対称式
べき乗和の公式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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