3近畿大学 2022年 数学 第3問解答・解説

交点は $x=-2a,\,3a$ で、面積は $\dfrac{1}{6}$ 公式。(2) は $x$ を固定すると $f(x)\leqq y\leqq g(x)$ なので、最大は $y=f(x)$、最小は $y=g(x)$ の上で考え、2次関数の軸が $-2a\leqq x\leqq3a$ に入るかで場合分けする。

$g(x)-f(x)=-2(x+2a)(x-3a)$。交点は $x=-2a,\,3a$。

(1) 面積は $\dfrac{2}{6}(5a)^{3}=\dfrac{125a^{3}}{3}=9$、$a^{3}=\dfrac{27}{125}$、$a=\dfrac{3}{5}$。

(2) 領域は $-2a\leqq x\leqq3a$、$f(x)\leqq y\leqq g(x)$。

最大値：$y=f(x)$ として $2x-f(x)=-x^{2}+(2-2a)x$。軸 $x=1-a$ は $a\geqq\dfrac{1}{4}$ のとき区間内で、最大値 $(1-a)^{2}=9$、$a=4$（適）。$a<\dfrac{1}{4}$ のときは $x=3a$ で最大値 $6a-15a^{2}$ で、これが9になる実数 $a$ はない。よって $a=4$。

最小値：$y=g(x)$ として $2x-g(x)=x^{2}+(2-4a)x-12a^{2}$。軸 $x=2a-1$ は $a\geqq\dfrac{1}{4}$ のとき区間内で、最小値 $-(2a-1)^{2}-12a^{2}=-16a^{2}+4a-1=-9$、$4a^{2}-a-2=0$、$a=\dfrac{1+\sqrt{33}}{8}$（$\geqq\dfrac{1}{4}$ で適）。$a<\dfrac{1}{4}$ のときは $x=-2a$ で最小値 $-4a$ で、$-4a=-9$ は $a<\dfrac{1}{4}$ に反する。よって $a=\dfrac{1+\sqrt{33}}{8}$。