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関西医科大学／2025年度／特色選抜

13関西医科大学 2025年 数学 第13問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

1問題

関西医科大学2025年度第13問
下記の問題文を読んで設問に答えなさい。
17世紀、ライプニッツにより確立された二進法は、底を2とする位取り記数法で、日常生活で一般に利用されている十進法で表記される数を0と1を用いて表記することができる。例えば、25を二進法で表示すると ①\boxed{①} となり、258\dfrac{25}{8} を二進法で表示すると ②\boxed{②} となる。また4桁の二進法では、0から ③\boxed{③} までの整数を、5桁の二進法では、0から ④\boxed{④} までの整数を表すことができる。
コンピュータの内部では、電圧0Vで0を、5Vで1を表すことで、二進法による計算を行っている。このように電圧の切り替え操作だけで全ての数値を表記できる二進法だが、整数値を1だけ変化させているにもかかわらず、2つ以上の桁で同時に電圧の切り替え操作を行わなければならない場合がある。例えば、2を3に変えたり、4を5に変えたりする場合には1つの桁だけを0から1に変化させればよいのに対し、3を4に変える場合には ⑤\boxed{⑤} 桁、7を8に変える場合には ⑥\boxed{⑥} 桁の数字を同時に、0から1、または1から0に変化させる必要がある。
このように二進法をコンピュータの内部で取り扱う場合には複数の桁が同時に変化する場合があり、電気回路で構成されるシステムでは信号が不安定になって不具合が発生する可能性がある。そこで、こうした不安定性を避けるために、「値が1変化するときに変化する数字が常に一つの桁だけ」となる、グレイコードと呼ばれる記数法が開発された。このグレイコードは、いろいろな方法で実現することができるが、下の表には3桁のグレイコードの実現方法として2通りの例を示した。ここで0と1のすべての組合せが現れることに注意しよう。
十進法表記グレイコード(1)グレイコード(2)000000011000012101⑦3001010401111051111116110⑧7010100\begin{array}{c|c|c}\text{十進法表記}&\text{グレイコード(1)}&\text{グレイコード(2)}\\0&\mathtt{000}&\mathtt{000}\\1&\mathtt{100}&\mathtt{001}\\2&\mathtt{101}&\boxed{⑦}\\3&\mathtt{001}&\mathtt{010}\\4&\mathtt{011}&\mathtt{110}\\5&\mathtt{111}&\mathtt{111}\\6&\mathtt{110}&\boxed{⑧}\\7&\mathtt{010}&\mathtt{100}\end{array}
設問61. ①\boxed{①} と ②\boxed{②} に入る数字の組としてもっとも適切なのはどれか。
a. ①10101　②10.101
b. ①10111　②10.111
c. ①11001　②11.001
d. ①11011　②11.011
e. ①11101　②11.101
設問62. ③\boxed{③} と ④\boxed{④} に入る数字の組としてもっとも適切なのはどれか。a. ③12 ④30　b. ③15 ④31　c. ③15 ④32　d. ③16 ④31　e. ③16 ④32
設問63. ⑤\boxed{⑤} と ⑥\boxed{⑥} に入る数字の組としてもっとも適切なのはどれか。a. ⑤2 ⑥2　b. ⑤2 ⑥3　c. ⑤3 ⑥3　d. ⑤3 ⑥4　e. ⑤4 ⑥4
設問64. ⑦\boxed{⑦} と ⑧\boxed{⑧} に入る数字の組としてもっとも適切なのはどれか。a. ⑦000 ⑧101　b. ⑦011 ⑧110　c. ⑦011 ⑧101　d. ⑦101 ⑧011　e. ⑦101 ⑧110
設問65. 次のa〜eのうち、【グレイコードではない】のはどれか。
十進法表記abcde00000000000000001001010010010001210101111001101131000011000010104110111101101110511111011111111160111000111101017010101001100100\begin{array}{c|ccccc}\text{十進法表記}&a&b&c&d&e\\0&\mathtt{000}&\mathtt{000}&\mathtt{000}&\mathtt{000}&\mathtt{000}\\1&\mathtt{001}&\mathtt{010}&\mathtt{010}&\mathtt{010}&\mathtt{001}\\2&\mathtt{101}&\mathtt{011}&\mathtt{110}&\mathtt{011}&\mathtt{011}\\3&\mathtt{100}&\mathtt{001}&\mathtt{100}&\mathtt{001}&\mathtt{010}\\4&\mathtt{110}&\mathtt{111}&\mathtt{101}&\mathtt{101}&\mathtt{110}\\5&\mathtt{111}&\mathtt{110}&\mathtt{111}&\mathtt{111}&\mathtt{111}\\6&\mathtt{011}&\mathtt{100}&\mathtt{011}&\mathtt{110}&\mathtt{101}\\7&\mathtt{010}&\mathtt{101}&\mathtt{001}&\mathtt{100}&\mathtt{100}\end{array}

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 設問61は c。①=1100111001、②=11.00111.001。設問62は b。③=1515、④=3131。設問63は d。⑤=33、⑥=44。設問64は c。⑦=011011、⑧=101101。設問65は b。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

二進法では各桁の重みと桁数から数値を確かめ、グレイコードでは連続する語の異なる桁数を直接比較した。

解答

25を2の冪の和に分けると、25=16+8+1=24+23+20=(11001)225=16+8+1=2^4+2^3+2^0=(11001)_2 である。また、

258=3+18=(11.001)2\frac{25}{8}=3+\frac18=(11.001)_2 となる。検算すると、16+8+1=2516+8+1=25、2+1+18=2582+1+\frac18=\frac{25}{8} である。よって設問61は c。

n桁の二進法で表せる最大値は、すべての桁を1とした2n−12^n-1だから、24−1=15,25−1=31.2^4-1=15,\qquad 2^5-1=31. よって(③,④)=(15,31)(③,④)=(15,31)で、設問62は b。

3=(011)23=(011)_2、4=(100)24=(100)_2 では3桁すべてが変化する。また、7=(0111)27=(0111)_2、8=(1000)28=(1000)_2 では4桁すべてが変化する。よって設問63は d。

001001 と 010010 の共通の1桁違いの候補は 000,011000,011 である。000000 は十進数0ですでに使われているので、⑦=011011。111111 と 100100 の共通候補は 101,110101,110 である。110110 は十進数4ですでに使われているので、⑧=101101。よって設問64は c。

選択肢bでは十進数3から4へ移るとき、(001)2→(111)2(001)_2\to(111)_2 となり、左端と中央の2桁が変化する。したがって、グレイコードではないものは b。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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