1金沢医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

金沢医科大学 2023年度 数学 Q1

3回の結果は、6面のうちどの物理的な面を順に選んだかで決まる。従って全事象は $6^3=216$ 通りで、各通りは同様に確からしい。面 $i$ が選ばれた回数を $c_i$ とすると、最終的にその面に書かれる数は $i+c_i$ である。

(1) 書かれている数字が6種類

3回の投げ方を、選ばれた面の回数の型に分ける。

- 3面を1回ずつ選ぶ場合、選んだ面の集合を $S$ とする。面 $i\leqq5$ を選ぶと、その表示は $i+1$ になる。面 $i+1$ も選ばれていなければ両面の表示が一致する。よって6種類を保つには $\text{面 }i\text{ を選ぶときは面 }i+1\text{ も選ぶこと}$ が必要で、$|S|=3$ より $S=\{4,5,6\}$ だけである。選ぶ順は $3!=6$ 通り。
- 面 $i$ を2回、別の面 $j$ を1回選ぶ場合、最終表示で衝突しないためには
$$\begin{cases} i=5,6\ \text{または}\ j=i+2,\\ j=6\ \text{または}\ i=j+1,\\ j\ne i+1 \end{cases}$$
が必要である。1行目は面 $i$ の表示 $i+2$ と元の面 $i+2$ の衝突を避け、2行目は面 $j$ の表示 $j+1$ と元の面 $j+1$ の衝突を避ける条件である。3行目は2面の新しい表示同士の衝突を避ける条件である。これを $1\leqq i,j\leqq6,\ i\ne j$ で調べると $(i,j)=(4,6),(5,4),(6,5)$ の3組で、各組について単独で選ぶ $j$ の回の位置が3通りある。計 $9$ 通り。
- 1面だけを3回選ぶ場合、面 $i$ は $i+3$ となる。$i\leqq3$ なら元の面 $i+3$ と衝突し、$i=4,5,6$ なら衝突しない。計3通り。

従って該当する投げ方は $6+9+3=18$ 通りで、
$$\boxed{\frac{18}{216}=\frac1{12}}.$$

(2) 同じ数字が3か所に書かれる

3つの異なる面 $i_1<i_2<i_3$ に同じ数 $m$ が書かれるには、それらの面を上げる回数の合計が
$$(m-i_1)+(m-i_2)+(m-i_3)$$
必要である。これが3回以下となるには最小の配置、すなわち $i_1=m-2,\ i_2=m-1,\ i_3=m$ でなければならず、必要回数は $2+1+0=3$ 回である。よって $m=3,4,5,6$ の各場合に、面 $m-2$ を2回、面 $m-1$ を1回選ぶ場合だけが該当する。各場合で1回選ぶ面の位置は3通りなので、計 $4\cdot3=12$ 通り。
$$\boxed{\frac{12}{216}=\frac1{18}}.$$

(3) 書かれている数字が3種類

1回の操作で数字の種類数を減らせるのは、選んだ面の現在の数字が1か所だけにあり、次の数字が他の面にすでに書かれているときである。この場合にちょうど1種類減る。種類数は初め6で、3回後に3種類にするには、各回で必ず1種類ずつ減らさなければならない。

従って毎回、まだ動かしていない面 $i$ を選び、隣の面 $i+1$ の表示へ合流させる。使える $i$ は $1,\ldots,5$ であり、連続する2つの $i,i+1$ を両方選ぶことはできない。実際、先に $i+1$ を動かすと面 $i$ の合流先が空き、先に $i$ を動かすと面 $i+1$ の表示が2か所に増えて次の操作で種類数が減らない。従って3つの選択面は $\{1,3,5\}$ に限られ、この3面をどの順に動かしても各操作が合流となる。該当する投げ方は $3!=6$ 通りなので、
$$\boxed{\frac6{216}=\frac1{36}}.$$

(4) 数字2が少なくとも1か所

数字は増えるだけなので、最終表示が2となりうるのは、初めの1の面をちょうど1回選んだ場合、または初めの2の面を一度も選ばない場合である。この2事象の投げ方の数はそれぞれ
$$3\cdot5^2=75,\qquad 5^3=125.$$
両方が同時に起きる場合は、1の面を選ぶ位置が3通り、残る2回は2の面以外の4面から選ぶので $3\cdot4^2=48$ 通り。包除原理より、該当数は
$$75+125-48=152.$$
従って
$$\boxed{\frac{152}{216}=\frac{19}{27}}.$$