4金沢大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) 8の正の約数は $1,2,4,8$ なので
$$s_8=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{8^2}=\frac{85}{64}.$$
12の正の約数は $1,2,3,4,6,12$ なので
$$s_{12}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{12^2}=\frac{210}{144}=\frac{35}{24}.$$

(2) $p$ は素数だから、$p^k$ の正の約数は $1,p,p^2,\ldots,p^k$ である。したがって
$$|A_{p^k}|=k+1.$$

(3) $p^kq^\ell$ の正の約数は $p^iq^j\ (0\leqq i\leqq k,\ 0\leqq j\leqq\ell)$ だから
$$s_{p^kq^\ell}=\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^\ell\frac{1}{p^{2i}q^{2j}}=\left(\sum_{i=0}^k p^{-2i}\right)\left(\sum_{j=0}^\ell q^{-2j}\right).$$
有限等比級数は対応する無限等比級数より真に小さいので
$$s_{p^kq^\ell}<\frac{1}{(1-p^{-2})(1-q^{-2})}.$$
異なる素数の小さい方は少なくとも $2$、大きい方は少なくとも $3$ であり、$x>1$ では $(1-x^{-2})^{-1}$ は減少する。よって
$$\frac{1}{(1-p^{-2})(1-q^{-2})}\leqq\frac{1}{(1-2^{-2})(1-3^{-2})}=\frac{4}{3}\cdot\frac{9}{8}=\frac{3}{2},$$
従って $s_{p^kq^\ell}<\frac{3}{2}$。